Los principios de la matemática

Los principios de la matemática

El presente trabajo tiene dos objetivos principales. Una de ellas, la prueba de que toda matemática pura trata exclusivamente con conceptos definibles en términos de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y que todas sus proposiciones son deducibles a partir de un número muy pequeño de principios lógicos fundamentales, se aborda en las Partes II a VII de este volumen, y se establecerá mediante un razonamiento simbólico estricto en el Volumen II. El otro objeto de este trabajo, que ocupa la Parte I, es la explicación de los conceptos fundamentales que las matemáticas aceptan como indefinibles.

1. Matemática Pura es la clase de todas las proposiciones de la forma “p implica q”, donde p y q son proposiciones que contienen una o más variables, las mismas en las dos proposiciones, y ni p ni q contienen constantes excepto constantes lógicas. Y las constantes lógicas son todas nociones definibles en términos de lo siguiente: implicación, la relación de un término con una clase de la cual es miembro, la noción de tal que, la noción de relación y otras nociones que puedan estar involucradas en la noción general de proposiciones de la forma anterior. Además de éstas, las matemáticas utilizan una noción que no es constituyente de las proposiciones que consideran, a saber, la noción de verdad.

2. La definición anterior de matemáticas puras es, sin duda, algo inusual. Sin embargo, sus diversas partes parecen ser susceptibles de una justificación exacta, justificación que será el objeto del presente trabajo proporcionar. Se demostrará que todo lo que en el pasado se ha considerado matemática pura está incluido en nuestra definición, y que todo lo demás incluido posee esas características por las que las matemáticas se distinguen común, aunque vagamente, de otros estudios. La definición no pretende ser una decisión arbitraria de utilizar una palabra común con un significado poco común, sino más bien un análisis preciso de las ideas que, más o menos inconscientemente, están implicadas en el empleo ordinario del término. Nuestro método será, por tanto, de análisis, y nuestro problema podrá llamarse filosófico, es decir, en el sentido de que tratamos de pasar de lo complejo a lo simple, de lo demostrable a sus premisas indemostrables. Pero en un aspecto no pocas de nuestras discusiones se diferenciarán de las que habitualmente se llaman filosóficas. Gracias al trabajo de los propios matemáticos, podremos llegar a tener certeza respecto de la mayoría de las cuestiones que nos ocuparán; y entre aquellos capaces de una solución exacta encontraremos muchos de los problemas que, en el pasado, han estado involucrados en toda la incertidumbre tradicional de la lucha filosófica. La naturaleza del número, del infinito, del espacio, del tiempo y del movimiento, y de la inferencia matemática misma, son todas cuestiones a las que, en el presente trabajo, se dará una respuesta que se declara demostrable con certeza matemática; una respuesta que, sin embargo, consiste en reducir los problemas anteriores a problemas de lógica pura, que por último no se encontrarán satisfactoriamente resueltos en lo que sigue.