Estructuras algebraicas y hamiltonianos a partir de las clases de equivalencia de las álgebras conformes 2D

Estructuras algebraicas y hamiltonianos a partir de las clases de equivalencia de las álgebras conformes 2D

La construcción de sistemas superintegrables basada en álgebras de Lie y sus álgebras envolventes universales ha sido ampliamente estudiada durante las últimas décadas. Sin embargo, la mayoría de las construcciones dependen de realizaciones explícitas mediante operadores diferenciales y de las reducciones de Marsden–Weinstein. En este artículo desarrollamos un enfoque algebraico basado en las subálgebras del álgebra conforme 2D c(2). Ello nos permite clasificar los centralizadores del álgebra envolvente del álgebra conforme y construir los hamiltonianos correspondientes con integrales en forma algebraica. Se halla que las álgebras de simetría subyacentes a estos hamiltonianos algebraicos son álgebras cuadráticas de dimensión seis. Los corchetes de Berezin y las relaciones de conmutación de las estructuras algebraicas cuadráticas se cierran sin depender de realizaciones o representaciones explícitas. También damos los invariantes de Casimir de las álgebras de simetría. Nuestro enfoque ofrece perspectivas algebraicas sobre el reciente trabajo de Fordy y Huang acerca de la construcción de sistemas superintegrables en los espacios de Darboux.

Los sistemas superintegrables se han estudiado a lo largo de los años desde distintas perspectivas, que abarcan la mecánica clásica y cuántica, la teoría de representaciones y la física matemática [1–6]. Se ha comprobado que los enfoques basados en álgebras de simetría permiten analizar los sistemas físicos con mayor eficacia que otros métodos [7–11]. Se mostró cómo las álgebras de Lie, sus realizaciones y reducciones permiten obtener hamiltonianos superintegrables en el contexto de la mecánica clásica [12–14]. Por ejemplo, en [15–18] se obtuvieron diversos sistemas superintegrables sobre esferas y seudoesferas. Sin embargo, la mayoría de los estudios previos se apoyan en realizaciones explícitas mediante operadores diferenciales, en las reducciones de Marsden–Weinstein y en conexiones con funciones especiales [19–21].

Solo muy recientemente se descubrió que puede establecerse un enfoque totalmente algebraico de los sistemas superintegrables al advertir que las integrales de los sistemas se aproximan a álgebras polinómicas en las álgebras envolventes de ciertas álgebras de Lie. El enfoque se implementó con éxito para su(3) [22] y gl(3) [23] aplicando un esquema basado en conmutantes y algebraizaciones. También se ha extendido a conmutantes respecto de las subálgebras de Cartan de sl(n) [24] y de ciertas álgebras no semisimples [25]. En este artículo generalizamos aún más el procedimiento y presentamos la construcción de conmutantes relativos a subálgebras, los correspondientes hamiltonianos superintegrables algebraicos y sus integrales de movimiento. Ello nos permite proponer un nuevo esquema para clasificar los sistemas superintegrables mediante la clasificación de las subálgebras y los conmutantes asociados de un álgebra de Lie dada.

Recientemente se reconoció que las álgebras conformes desempeñan un papel importante en la clasificación de sistemas superintegrables en espacios bidimensionales [2, 26–28]. En los trabajos de Fordy y Huang [29–31], mediante el uso de subálgebras específicas, sus operadores de Casimir y realizaciones diferenciales, se mostró que los sistemas superintegrables en espacios conformemente planos 2D y 3D están relacionados con sistemas superintegrables en espacios de Darboux. En particular, las simetrías conformes de la métrica euclidiana 2D se aplicaron para construir nuevos sistemas superintegrables libres en los espacios de Darboux 2D. En este artículo examinaremos diversas subálgebras abelianas y no abelianas del álgebra conforme 2D c(2) y proponemos un nuevo esquema para clasificar sistemas integrables y superintegrables mediante la construcción explícita de conmutantes relativos a las subálgebras.