Eine Einführung in den Theta-Kalkül

Eine Einführung in den Theta-Kalkül

Der Theta-Kalkül ist ein mathematischer Kalkül zur Beschreibung sequenzieller Prozesse, finanzieller Kontrakte und mehrperiodiger Strategien in der Spieltheorie. Dieser Kalkül erlaubt die explizite Notation aller Handelsstrategien und Finanzprodukte, die sich derzeit nicht in expliziter mathematischer Form schreiben lassen. Alle Arten von Kontrakten, Strategien und Mehrperiodenspielen lassen sich sodann anhand eines Vokabulars von drei Grundwirkungen – Warten, Handeln und Entscheiden – in ihren quantitativen Implikationen erfassen. Jede elementare Tätigkeit wird durch einen Operator dargestellt, der in einer Operatorfolge als zeitlich geordnete Liste von Ereignissen interpretiert werden kann; der Operatorterm stellt zugleich eine explizite Formel zur Auswertung des Endergebnisses der jeweiligen Strategie dar. Der Theta-Kalkül ist besonders nützlich für die Notation von Finanzprodukten, von denen sich viele derzeit nicht explizit darstellen lassen.

Die quantitative Finanzwirtschaft ist eines der am aktivsten erforschten wissenschaftlichen Gebiete, die sich mit Prozessen befassen. Viele Aspekte stochastischer und deterministischer Prozesse sowie der Entscheidungs- und Spieltheorie finden sich im Finanzwesen. Trotz eines umfangreichen Hintergrunds an mathematischer Theorie und Konzepten ist der gängige Finanzkalkül außerstande, einen der grundlegendsten Aspekte des Handels und der Marktanalyse zu formalisieren: Es fehlt ihm an einer expliziten mathematischen Notation für menschliche Handelstätigkeiten und für viele Finanzprodukte. Beginnend mit der amerikanischen Option lässt sich alles, was nicht-triviale intertemporale Entscheidungen oder Optimierungen erfordert, nicht in einer vernünftigen Form darstellen, aus der sich die Produktbewertung algebraisch ableiten ließe.

Ausgefeilte Vertragstypen und Anlageziele werden typischerweise nur in Prosatform festgelegt und verwenden meist eine Fachterminologie, die für Unbeteiligte schwer zu interpretieren ist. Solche Darstellungen lassen sich mathematisch nur schwer auswerten und müssen einzeln in Formeln und Computercode übersetzt werden. Wer größere Allgemeinheit anstrebt, sieht sich zumeist mit einer Inflation von Parametern und mathematischen Konzepten konfrontiert.

Um der Nachfrage der Branche nach einer technischen Portfolio-Darstellung zu begegnen, wurden bestehende Programmiersprachdialekte erweitert. Die bemerkenswertesten Ergebnisse sind MLFi, das auf der funktionalen Programmiersprache Caml beruht, und der XML-Standard FpML. Beide bieten jedoch keinen mathematischen Rahmen für die Ableitung theoretischer Eigenschaften: Ihr Vokabular ist enorm und wird ständig erweitert, und zwischen Produktdarstellung und Bewertungsverfahren klafft eine große Lücke, was die Sorge vor Mehrdeutigkeit und Inkonsistenz des Modells nährt.