Die Prinzipien der Mathematik

Die Prinzipien der Mathematik

Die vorliegende Arbeit hat zwei Hauptziele. Einer davon, der Beweis, dass sich die gesamte reine Mathematik ausschließlich mit Konzepten befasst, die durch eine sehr kleine Anzahl grundlegender logischer Konzepte definierbar sind, und dass alle ihre Sätze aus einer sehr kleinen Anzahl grundlegender logischer Prinzipien ableitbar sind, wird in den Teilen II–VII dieses Bandes durchgeführt und durch strenge symbolische Argumentation in Band II nachgewiesen. Das andere Ziel dieser Arbeit, die Teil I einnimmt, ist die Erklärung der grundlegenden Konzepte, die die Mathematik als undefinierbar akzeptiert.

1. Reine Mathematik ist die Klasse aller Sätze der Form „p impliziert q“, wobei p und q Sätze sind, die eine oder mehrere Variablen enthalten, die in den beiden Sätzen gleich sind, und weder p noch q irgendwelche Konstanten außer logischen Konstanten enthalten. Und logische Konstanten sind alle Begriffe, die durch Folgendes definiert werden können: Implikation, die Beziehung eines Begriffs zu einer Klasse, der er angehört, der Begriff davon, der Begriff der Beziehung und solche weiteren Begriffe, die im allgemeinen Begriff von Sätzen der oben genannten Form enthalten sein können. Darüber hinaus verwendet die Mathematik einen Begriff, der nicht Bestandteil der von ihr betrachteten Sätze ist, nämlich den Begriff der Wahrheit.

2. Die obige Definition der reinen Mathematik ist zweifellos etwas ungewöhnlich. Seine verschiedenen Teile scheinen jedoch einer exakten Rechtfertigung fähig zu sein – eine Rechtfertigung, die Gegenstand der vorliegenden Arbeit sein wird. Es wird gezeigt, dass alles, was in der Vergangenheit als reine Mathematik angesehen wurde, in unserer Definition enthalten ist, und dass alles andere, was darin enthalten ist, jene Merkmale aufweist, durch die sich die Mathematik üblicherweise, wenn auch vage, von anderen Studien unterscheidet. Bei der Definition handelt es sich nicht um eine willkürliche Entscheidung, ein gebräuchliches Wort in einer ungewöhnlichen Bedeutung zu verwenden, sondern vielmehr um eine genaue Analyse der Ideen, die mehr oder weniger unbewusst mit der gewöhnlichen Verwendung des Begriffs impliziert sind. Unsere Methode wird daher eine der Analyse sein, und unser Problem kann als philosophisch bezeichnet werden – in dem Sinne, dass wir versuchen, vom Komplexen zum Einfachen, vom Beweisbaren zu seinen unbeweisbaren Prämissen überzugehen. Aber in einer Hinsicht werden sich nicht wenige unserer Diskussionen von denen unterscheiden, die man gewöhnlich als philosophisch bezeichnet. Dank der Arbeit der Mathematiker selbst werden wir in der Lage sein, hinsichtlich der meisten Fragen, mit denen wir uns befassen werden, Gewissheit zu erlangen; und unter denen, die zu einer exakten Lösung fähig sind, werden wir viele der Probleme finden, die in der Vergangenheit mit der traditionellen Ungewissheit philosophischer Auseinandersetzungen verbunden waren. Die Natur der Zahl, der Unendlichkeit, des Raums, der Zeit und der Bewegung und der mathematischen Folgerung selbst sind alles Fragen, auf die in der vorliegenden Arbeit eine Antwort gegeben wird, die angeblich mit mathematischer Sicherheit beweisbar ist – eine Antwort, die jedoch darin besteht, die oben genannten Probleme auf Probleme der reinen Logik zu reduzieren, die im Folgenden nicht zufriedenstellend gelöst werden.