Algebraische Strukturen und Hamilton-Operatoren aus den Äquivalenzklassen 2D-konformer Algebren

Algebraische Strukturen und Hamilton-Operatoren aus den Äquivalenzklassen 2D-konformer Algebren

Die Konstruktion superintegrabler Systeme auf der Grundlage von Lie-Algebren und ihren universellen einhüllenden Algebren ist in den vergangenen Jahrzehnten ausführlich untersucht worden. Die meisten Konstruktionen beruhen jedoch auf expliziten Realisierungen durch Differentialoperatoren und auf Marsden–Weinstein-Reduktionen. In dieser Arbeit entwickeln wir einen algebraischen Zugang auf der Basis der Unteralgebren der 2D-Konformalgebra c(2). Dies erlaubt uns, die Zentralisatoren der einhüllenden Algebra der Konformalgebra zu klassifizieren und die zugehörigen Hamilton-Operatoren mit Integralen in algebraischer Form zu konstruieren. Es zeigt sich, dass die diesen algebraischen Hamilton-Operatoren zugrunde liegenden Symmetriealgebren sechsdimensionale quadratische Algebren sind. Die Berezin-Klammern und Vertauschungsrelationen der quadratischen algebraischen Strukturen schließen, ohne auf explizite Realisierungen oder Darstellungen angewiesen zu sein. Wir geben auch die Casimir-Invarianten der Symmetriealgebren an. Unser Zugang liefert algebraische Perspektiven für die jüngste Arbeit von Fordy und Huang zur Konstruktion superintegrabler Systeme in Darboux-Räumen.

Superintegrable Systeme sind im Laufe der Jahre aus verschiedenen Blickwinkeln untersucht worden – aus der klassischen und der Quantenmechanik, der Darstellungstheorie und der mathematischen Physik [1–6]. Symmetriealgebra-Zugänge erwiesen sich als effektiver zur Analyse physikalischer Systeme als andere Methoden [7–11]. Es wurde gezeigt, wie Lie-Algebren, ihre Realisierungen und Reduktionen im Rahmen der klassischen Mechanik superintegrable Hamilton-Operatoren liefern [12–14]. So wurden etwa in [15–18] verschiedene superintegrable Systeme auf Sphären und Pseudosphären erhalten. Die meisten früheren Arbeiten stützen sich jedoch auf explizite Differentialoperator-Realisierungen, die Marsden–Weinstein-Reduktionen und Verbindungen zu speziellen Funktionen [19–21].

Erst vor Kurzem wurde erkannt, dass sich ein vollständig algebraischer Zugang zu superintegrablen Systemen aufbauen lässt, indem man berücksichtigt, dass die Integrale der Systeme Polynomalgebren in den einhüllenden Algebren gewisser Lie-Algebren nahekommen. Der Zugang wurde für su(3) [22] und gl(3) [23] erfolgreich umgesetzt, indem ein auf Kommutanten und Algebraisierungen beruhendes Schema angewendet wurde. Er wurde zudem auf Kommutanten bezüglich der Cartan-Unteralgebren von sl(n) [24] und gewisser nicht-halbeinfacher Algebren [25] ausgedehnt. In dieser Arbeit verallgemeinern wir das Verfahren weiter und präsentieren die Konstruktion von Kommutanten bezüglich Unteralgebren, die zugehörigen algebraischen superintegrablen Hamilton-Operatoren und ihre Bewegungsintegrale. Dies erlaubt uns, ein neues Schema zur Klassifikation superintegrabler Systeme vorzuschlagen, indem Unteralgebren und zugehörige Kommutanten einer gegebenen Lie-Algebra klassifiziert werden.

Kürzlich wurde erkannt, dass Konformalgebren bei der Klassifikation superintegrabler Systeme in zweidimensionalen Räumen eine wichtige Rolle spielen [2, 26–28]. In den Arbeiten von Fordy und Huang [29–31] wurde unter Verwendung spezifischer Unteralgebren, ihrer Casimir-Operatoren und Differentialrealisierungen gezeigt, dass superintegrable Systeme in 2D- und 3D-konform flachen Räumen mit superintegrablen Systemen in Darboux-Räumen zusammenhängen. Insbesondere wurden die konformen Symmetrien der 2D-euklidischen Metrik angewendet, um neue freie superintegrable Systeme in den 2D-Darboux-Räumen zu konstruieren. In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene abelsche und nicht-abelsche Unteralgebren der 2D-Konformalgebra c(2) und schlagen ein neues Schema zur Klassifikation integrabler und superintegrabler Systeme durch explizite Konstruktion von Kommutanten relativ zu den Unteralgebren vor.