数学的原理

数学的原理

目前的工作有两个主要目标。其中之一，证明所有纯数学都只涉及用极少数基本逻辑概念定义的概念，并且它的所有命题都可以从极少数基本逻辑原理中推导出来，这一点在本书的第二至第七部分中进行，并将在第二卷中通过严格的符号推理来建立。本书第一部分的另一个目的是解释数学中认为无法定义的基本概念。

1.纯数学是所有具有“p蕴含q”形式的命题的类，其中p和q是包含一个或多个变量的命题，两个命题相同，并且p和q都不包含除逻辑常量之外的任何常量。逻辑常数是所有可以用以下术语定义的概念：蕴涵，一个术语与其所属类别的关系，“那个”的概念，关系的概念，以及可能涉及上述形式的命题的一般概念的进一步概念。除此之外，数学还使用一个不构成其所考虑的命题的概念，即真理的概念。

2. 毫无疑问，上述纯数学的定义有些不寻常。然而，它的各个部分似乎能够进行精确的论证——本工作的目的就是提供这种论证。我们将证明，过去被视为纯数学的一切都包含在我们的定义中，而所包含的其他内容都具有数学与其他研究通常（尽管模糊）区别的标志。该定义声称，不是在不常见的含义中使用常见单词的任意决定，而是对该术语的日常使用中或多或少无意识地暗示的思想的精确分析。因此，我们的方法将是一种分析方法，我们的问题可以被称为哲学问题——也就是说，我们寻求从复杂到简单，从可证明的前提到不可证明的前提。但在一方面，我们的讨论中有不少与通常所谓的哲学讨论不同。感谢数学家们自己的努力，我们将能够确定我们所关心的大多数问题。在那些能够精确解决的问题中，我们会发现许多过去涉及哲学冲突的传统不确定性的问题。数的本质、无穷大的本质、空间、时间和运动的本质，以及数学推理本身的本质，都是这些问题，在本著作中，将给出一个自称可以用数学确定性证明的答案——然而，这个答案在于将上述问题简化为纯逻辑中的问题，而这些问题最后在下文中不会得到令人满意的解决。