用于物理扩散系统的物理编码图深度学习

用于物理扩散系统的物理编码图深度学习

扩散现象是物理学、工程学和生物学等领域的基础，然而对复杂系统而言，采用传统数值方法对其进行模拟的计算代价很高。深度学习带来了新的可能，但物理信息神经网络（PINN）等主流方法泛化能力有限且会累积误差，在数据稀疏或几何形状不规则时尤为明显。为此，本文提出一种物理编码图神经网络（PeMN），将图消息传递机制与离散微分几何原理相结合。通过把拉普拉斯算子、梯度算子等微分算子显式地编码进网络架构以完成空间离散化，PeMN 在严格遵循物理规律的同时降低了函数逼近中的非线性。

扩散方程是描述热量、质量、动量等物理量随空间和时间演化的基本数学模型。这类偏微分方程（PDE）广泛应用于物理学、工程学、生物学等多个学科，用于刻画化学反应、流体动力学、气候变化等复杂的时空动力学过程。因此，精确模拟扩散过程对于优化设计、开展风险评估和辅助决策至关重要。

然而，采用有限元方法（FEM）、有限体积方法等传统数值计算方法模拟扩散系统面临一系列挑战。首要问题在于处理大规模、高维问题时计算成本高昂，尤其是在需要大量重复模拟的场景中，如优化设计、反问题和不确定性量化。此外，对于具有复杂边界条件和非线性特征的扩散问题，数值方法的稳定性与收敛性问题尤为突出，必须精心设计算法并调整参数。随着计算能力的提升，深度学习方法为应对这些挑战带来了新的可能：深度学习模型能够从数据中学习复杂的时空模式，并以低得多的计算成本实现快速预测。