Принципи математики

Принципи математики

Дана робота має дві основні мети. Один з них, доказ того, що вся чиста математика має справу виключно з поняттями, які можна визначити в термінах дуже невеликої кількості фундаментальних логічних понять, і що всі її положення виводяться з дуже невеликої кількості фундаментальних логічних принципів, здійснюється в частинах II-VII цього тому, і буде встановлено строгими символічними міркуваннями в томі II. Іншим об’єктом цієї роботи, яка займає першу частину, є пояснення фундаментальних понять, які математика приймає як невизначені.

1. Чиста математика — це клас усіх пропозицій у формі «p означає q», де p і q є пропозиціями, що містять одну або більше змінних, однакових у двох пропозиціях, і ні p, ні q не містять жодних констант, крім логічних констант. А логічні константи — це всі поняття, які можна визначити в термінах наступного: імплікація, відношення терміна до класу, членом якого він є, поняття такого, що, поняття відношення та такі інші поняття, які можуть входити до загального поняття пропозицій вищевказаної форми. Крім цього, математика використовує поняття, яке не є складовою пропозицій, які вона розглядає, а саме поняття істини.

2. Наведене вище визначення чистої математики, без сумніву, дещо незвичайне. Тим не менш, його різні частини, здається, здатні отримати точне обґрунтування — обґрунтування, яке буде надано метою цієї роботи. Буде показано, що все, що в минулому вважалося чистою математикою, включено в наше визначення, і що все, що включено, має ті ознаки, за якими математику зазвичай, хоча й нечітко, відрізняють від інших досліджень. Визначення стверджує, що це не довільне рішення використовувати звичайне слово в незвичайному значенні, а скоріше точний аналіз ідей, які більш-менш несвідомо входять у звичайне використання цього терміну. Таким чином, наш метод буде методом аналізу, а нашу проблему можна назвати філософською — тобто в тому сенсі, що ми прагнемо перейти від складного до простого, від доказового до його недоказових передумов. Але в чомусь багато наших дискусій будуть відрізнятися від тих, які зазвичай називають філософськими. Завдяки працям самих математиків ми зможемо прийти до впевненості щодо більшості питань, якими ми будемо займатися; і серед тих, хто здатний знайти точне вирішення, ми знайдемо багато проблем, які в минулому були втягнуті в усю традиційну невизначеність філософської боротьби. Природа числа, нескінченності, простору, часу та руху, а також самого математичного висновку — все це питання, на які в цій роботі буде дана відповідь, яка, як стверджується, доведена з математичною достовірністю, — відповідь, яка, однак, полягає у зведенні вищезазначених проблем до проблем чистої логіки, які в подальшому не будуть знайдені задовільним чином.