Глибоке навчання з фізичним кодуванням графів для систем фізичної дифузії

Глибоке навчання з фізичним кодуванням графів для систем фізичної дифузії

Явища дифузії є фундаментальними у фізиці, техніці та біології, але їх моделювання за допомогою традиційних чисельних методів потребує великих обчислень для складних систем. Хоча глибоке навчання є багатообіцяючим, переважаючі підходи, такі як нейронна мережа, заснована на фізиці (PINN), страждають від обмеженої можливості узагальнення та накопичення помилок, особливо з розрідженими даними або неправильною геометрією. Тут ми пропонуємо графову нейронну мережу з фізичним кодуванням (PeMN), яка об’єднує механізм передачі повідомлень графа з принципами дискретної диференціальної геометрії. Шляхом явного кодування диференціальних операторів, таких як оператори Лапласа та градієнта, в мережеву архітектуру для просторової дискретизації, PeMN зменшує нелінійність у наближенні функції, забезпечуючи суворе дотримання фізики.

Рівняння дифузії — це фундаментальні математичні моделі, які описують просторову та часову еволюцію таких фізичних величин, як тепло, маса та імпульс. Ці диференціальні рівняння в частинних похідних (PDE) широко застосовуються в різних дисциплінах, включаючи фізику, техніку та біологію, і вони використовуються для характеристики складних просторово-часових динамічних процесів, таких як хімічні реакції, динаміка рідин і зміна клімату. Таким чином, точне моделювання процесів дифузії має вирішальне значення для оптимізації проектів, проведення оцінки ризиків і полегшення прийняття рішень.

Однак моделювання дифузійних систем з використанням традиційних чисельних методів обчислення, таких як метод кінцевих елементів (FEM) і метод кінцевого об’єму, стикається з рядом проблем. Основною проблемою є висока обчислювальна вартість, пов’язана з вирішенням великомасштабних задач великої розмірності, особливо в сценаріях, що вимагають численних повторюваних симуляцій, таких як проектування оптимізації, зворотні проблеми та кількісне визначення невизначеності. Крім того, для задач дифузії зі складними граничними умовами та нелінійними характеристиками стабільність і збіжність чисельних методів є особливо помітними, що вимагає ретельного проектування алгоритму та налаштування параметрів. З розвитком обчислювальної потужності методи глибокого навчання пропонують нові можливості для вирішення цих проблем, оскільки моделі глибокого навчання здатні вивчати складні просторово-часові шаблони з даних і забезпечувати швидке прогнозування за значно менших обчислювальних витрат.