Алгебраїчні структури та гамільтоніани з класів еквівалентності двовимірних конформних алгебр

Алгебраїчні структури та гамільтоніани з класів еквівалентності двовимірних конформних алгебр

Побудова суперінтегрованих систем на основі алгебр Лі та їх універсальних огинаючих алгебр широко досліджується протягом останніх десятиліть. Однак більшість конструкцій покладаються на явну реалізацію диференціального оператора та скорочення Марсдена–Вайнштейна. У цій статті ми розробляємо алгебраїчний підхід, заснований на підалгебрах двовимірної конформної алгебри c(2). Це дозволяє класифікувати централізатори огинаючої алгебри конформної алгебри та побудувати відповідні гамільтоніани з інтегралами в алгебраїчній формі. Виявлено, що алгебри симетрії, що лежать в основі цих алгебраїчних гамільтоніанів, є шестивимірними квадратичними алгебрами. Дужки Березіна та комутаційні співвідношення квадратичних алгебраїчних структур замкнуті без опори на явні реалізації чи представлення. Ми також надаємо інваріанти Казимира алгебр симетрії. Наш підхід пропонує алгебраїчні перспективи для нещодавньої роботи Форді та Хуанга щодо побудови суперінтегрованих систем у просторах Дарбу.

Протягом багатьох років суперінтегровані системи вивчалися з різних точок зору, охоплюючи підходи класичної та квантової механіки, теорії представлень і математичної фізики [1–6]. Було виявлено, що підходи алгебри симетрії можна використовувати для аналізу фізичних систем більш ефективно, ніж інші підходи [7–11]. Показано, як алгебри Лі, їх реалізації та редукції дозволяють отримати суперінтегровні гамільтоніани в контексті класичної механіки [12–14]. Наприклад, у [15–18] отримано різноманітні суперінтегровні системи на сферах і псевдосферах. Однак більшість попередніх досліджень спираються на використання явних реалізацій диференціальних операторів, редукцій Марсдена–Вайнштейна та зв’язків зі спеціальними функціями [19–21].

Лише зовсім недавно було виявлено, що повністю алгебраїчний підхід до суперінтегрованих систем може бути встановлений, якщо усвідомити, що інтеграли систем максимально близькі до поліноміальних алгебр в огинаючих алгебрах певних алгебр Лі. Підхід було успішно реалізовано для su(3) [22] і gl(3) [23] шляхом застосування схеми, заснованої на комутантах і алгебраизаціях. Він також поширений на комутанти щодо підалгебр Картана sl(n) [24] і деяких ненапівпростих алгебр [25]. У цій статті ми далі узагальнюємо процедуру та представляємо конструкцію комутантів щодо підалгебр, відповідних алгебраїчних суперінтегрованих гамільтоніанів та їхніх інтегралів руху. Це дозволяє нам запропонувати нову схему класифікації суперінтегрованих систем шляхом класифікації підалгебр і відповідних комутантів даної алгебри Лі.

Нещодавно було зрозуміло, що конформні алгебри відіграють важливу роль у класифікації суперінтегрованих систем у 2-вимірних просторах [2, 26–28]. У роботі Форді та Хуанга [29–31] за допомогою специфічних підалгебр, їх операторів Казимира та диференціальних реалізацій було показано, що суперінтеграбельні системи у 2D та 3D конформно плоских просторах пов’язані із суперінтегрованими системами у просторах Дарбу. Зокрема, конформні симетрії 2D евклідової метрики були застосовані для побудови нових вільних суперінтегрованих систем у 2D просторах Дарбу. У цій статті ми розглянемо різні абелеві та неабелеві підалгебри двовимірної конформної алгебри c(2) і запропонуємо нову схему для класифікації інтегровних та суперінтегрованих систем через явну конструкцію комутантів відносно підалгебр.