Matematiğin İlkeleri

Matematiğin İlkeleri

Mevcut çalışmanın iki ana amacı vardır. Bunlardan biri, tüm saf matematiğin yalnızca çok az sayıda temel mantıksal kavramla tanımlanabilen kavramlarla ilgilendiği ve tüm önermelerinin çok az sayıda temel mantık ilkesinden çıkarılabileceğinin kanıtı bu cildin II-VII. Kısımlarında ele alınmıştır ve II. Ciltte katı sembolik akıl yürütmeyle oluşturulacaktır. I. Bölüm'ü oluşturan bu çalışmanın diğer amacı ise matematiğin tanımlanamaz olarak kabul ettiği temel kavramların açıklanmasıdır.

1. Saf Matematik, "p, q'yu ima eder" biçimindeki tüm önermelerin sınıfıdır; burada p ve q, bir veya daha fazla değişken içeren önermelerdir, iki önermede de aynıdır ve ne p ne de q, mantıksal sabitler dışında herhangi bir sabit içermez. Ve mantıksal sabitlerin tümü aşağıdaki terimlerle tanımlanabilen kavramlardır: İçerme, bir terimin üyesi olduğu bir sınıfla ilişkisi, şöyle kavramı, ilişki kavramı ve yukarıdaki biçimdeki önermelerin genel kavramında yer alabilecek diğer kavramlar. Bunlara ek olarak matematik, ele aldığı önermelerin bileşeni olmayan bir kavramı, yani doğruluk kavramını kullanır.

2. Saf matematiğin yukarıdaki tanımı şüphesiz biraz sıra dışıdır. Bununla birlikte, çeşitli kısımları kesin bir gerekçelendirmeye muktedir görünmektedir; bu, mevcut çalışmanın amacının da sağlayacağı bir gerekçelendirmedir. Geçmişte saf matematik olarak kabul edilen her şeyin tanımımıza dahil olduğu ve diğer her şeyin, matematiğin diğer çalışmalardan belirsiz de olsa genellikle ayırt edilmesini sağlayan işaretlere sahip olduğu gösterilecektir. Tanım, yaygın bir sözcüğü alışılmadık bir anlamla kullanmaya yönelik keyfi bir karar değil, daha ziyade terimin sıradan kullanımında az çok bilinçsizce ima edilen fikirlerin kesin bir analizi olduğunu iddia ediyor. Dolayısıyla yöntemimiz bir analiz olacaktır ve problemimiz felsefi olarak adlandırılabilir; yani karmaşıktan basite, kanıtlanabilirden kanıtlanamaz öncüllere geçmeye çalışmamız anlamında. Ancak bir açıdan tartışmalarımızın pek azı genellikle felsefi olarak adlandırılanlardan farklı olmayacaktır. Biz matematikçilerin çabaları sayesinde ilgileneceğimiz soruların çoğuna ilişkin kesinliğe ulaşabileceğiz; ve kesin bir çözüme ulaşabilenler arasında, geçmişte felsefi çekişmenin tüm geleneksel belirsizliği içinde yer alan sorunların çoğunu bulacağız. Sayının, sonsuzluğun, uzayın, zamanın ve hareketin doğası ve bizzat matematiksel çıkarımın doğası, bu çalışmada matematiksel kesinlikle kanıtlanabilir bir yanıtın verileceği sorulardır; ancak bu yanıt, yukarıdaki sorunları, aşağıda tatmin edici bir şekilde çözülmüş olarak bulunmayacak olan saf mantık sorunlarına indirgemekten ibarettir.