2B Konformal Cebirlerin Eşdeğerlik Sınıflarından Cebirsel Yapılar ve Hamiltonyenler

2B Konformal Cebirlerin Eşdeğerlik Sınıflarından Cebirsel Yapılar ve Hamiltonyenler

Lie cebirlerine ve bunların evrensel zarflama cebirlerine dayalı süper entegre edilebilir sistemlerin inşası, geçtiğimiz on yılda geniş çapta incelenmiştir. Bununla birlikte çoğu yapı, açık diferansiyel operatör gerçekleşmelerine ve Marsden-Weinstein indirgemelerine dayanır. Bu yazıda, 2 boyutlu konformal cebir c(2)'nin alt cebirlerine dayalı bir cebirsel yaklaşım geliştiriyoruz. Bu bize konformal cebirin kuşatıcı cebirinin merkezleyicilerini sınıflandırmamıza ve karşılık gelen Hamiltoniyenleri cebirsel formdaki integrallerle oluşturmamıza olanak tanır. Bu cebirsel Hamiltonyenlerin temelini oluşturan simetri cebirlerinin altı boyutlu ikinci dereceden cebirler olduğu bulunmuştur. İkinci dereceden cebirsel yapıların Berezin parantezleri ve komütasyon ilişkileri, açık gerçekleştirmelere veya temsillere dayanmaksızın kapalıdır. Ayrıca simetri cebirlerinin Casimir değişmezlerini de veriyoruz. Yaklaşımımız, Fordy ve Huang'ın Darboux uzaylarında süper entegre edilebilir sistemlerin inşasına ilişkin son çalışmaları için cebirsel perspektifler sağlıyor.

Süperintegre edilebilir sistemler, klasik ve kuantum mekaniği, temsil teorisi ve matematiksel fizik yaklaşımlarını kapsayan yıllar boyunca farklı perspektiflerden incelenmiştir [1-6]. Simetri cebiri yaklaşımlarının fiziksel sistemleri analiz etmek için diğer yaklaşımlara göre daha etkili bir şekilde kullanılabileceği bulunmuştur [7-11]. Lie cebirlerinin, bunların gerçekleştirilmelerinin ve indirgemelerinin, klasik mekanik bağlamında süperintegre edilebilir Hamiltoniyenlerin elde edilmesine nasıl izin verdiği gösterilmiştir [12-14]. Örneğin, [15-18]'de küreler ve sözde küreler üzerinde çeşitli süperintegre edilebilir sistemler elde edilmiştir. Bununla birlikte, önceki çalışmaların çoğu, açık diferansiyel operatör gerçekleştirmelerinin, Marsden-Weinstein indirgemelerinin ve özel işlevlerle bağlantıların kullanımına dayanmaktadır [19-21].

Ancak çok yakın bir zamanda, sistemlerin integrallerinin belirli Lie cebirlerinin zarflayıcı cebirlerindeki polinom cebirlerine olabildiğince yakın olduğunun farkına varılarak süperintegre edilebilir sistemlere tamamen cebirsel bir yaklaşımın oluşturulabileceği bulunmuştur. Yaklaşım su(3) [22] ve gl(3) [23] için komutantlara ve cebirselleştirmelere dayalı bir şema uygulanarak başarıyla uygulandı. Aynı zamanda sl(n)'nin Cartan alt cebirlerine [24] ve belirli yarı-basit olmayan cebirlere [25] ilişkin komutantlara da genişletilir. Bu yazıda, prosedürü daha da genelleştiriyoruz ve alt cebirlere, karşılık gelen cebirsel süperintegre edilebilir Hamiltoniyenlere ve bunların hareket integrallerine ilişkin komutantların yapısını sunuyoruz. Bu bize, belirli bir Lie cebirinin alt cebirlerini ve ilgili komutantlarını sınıflandırarak süper entegre edilebilir sistemleri sınıflandırmak için yeni bir şema önermemize olanak tanır.

Son zamanlarda konformal cebirlerin 2 boyutlu uzaylarda süperintegre edilebilir sistemlerin sınıflandırılmasında önemli bir rol oynadığı anlaşılmıştır [2, 26–28]. Fordy ve Huang'ın [29-31] çalışmalarında, belirli alt cebirlerin, bunların Casimir operatörlerinin ve diferansiyel gerçekleşmelerinin kullanımı yoluyla, 2 boyutlu ve 3 boyutlu uyumlu düz uzaylardaki süper entegre edilebilir sistemlerin, Darboux uzaylarındaki süper entegre edilebilir sistemlerle ilişkili olduğu gösterilmiştir. Özellikle, 2B Öklid metriğinin konformal simetrileri, 2B Darboux uzaylarında yeni serbest süper entegre edilebilir sistemler oluşturmak için uygulandı. Bu yazıda, 2D konformal cebir c(2)'nin çeşitli Abelian ve Abelian olmayan alt cebirlerini inceleyeceğiz ve alt cebirlere göre komutantların açık bir şekilde oluşturulması yoluyla entegre edilebilir ve süper entegre edilebilir sistemleri sınıflandırmak için yeni bir şema önereceğiz.