Matematikens principer

Matematikens principer

Föreliggande arbete har två huvudsakliga syften. Ett av dessa, beviset på att all ren matematik uteslutande handlar om begrepp som kan definieras i termer av ett mycket litet antal grundläggande logiska begrepp, och att alla dess satser är härledbara från ett mycket litet antal grundläggande logiska principer, genomförs i delarna II–VII av denna volym, och kommer att fastställas genom strikta symboliska resonemang i volym II. Det andra syftet med detta arbete, som upptar del I, är förklaringen av de grundläggande begrepp som matematiken accepterar som odefinierbara.

1. Ren matematik är klassen av alla satser av formen "p implicerar q", där p och q är satser som innehåller en eller flera variabler, samma i de två satserna, och varken p eller q innehåller några konstanter förutom logiska konstanter. Och logiska konstanter är alla begrepp som kan definieras i termer av följande: Implikation, förhållandet mellan en term till en klass som den är medlem av, begreppet sådan, begreppet relation, och sådana ytterligare begrepp som kan vara involverade i den allmänna begreppet propositioner av ovanstående form. Utöver dessa använder matematiken ett begrepp som inte är en beståndsdel av de satser som den anser, nämligen begreppet sanning.

2. Ovanstående definition av ren matematik är utan tvekan något ovanlig. Dess olika delar tycks ändå kunna rättfärdigas exakt - en motivering som det kommer att vara syftet med detta arbete att tillhandahålla. Det kommer att visas att allt som tidigare har betraktats som ren matematik ingår i vår definition, och att allt annat som ingår har de kännetecken som matematik vanligen, men vagt skiljer sig från andra studier. Definitionen säger sig inte vara ett godtyckligt beslut att använda ett vanligt ord i en ovanlig betydelse, utan snarare en exakt analys av de idéer som, mer eller mindre omedvetet, antyds i den vanliga användningen av termen. Vår metod kommer därför att vara en analys, och vårt problem kan kallas filosofiskt – i den meningen, det vill säga att vi försöker gå från det komplexa till det enkla, från det påvisbara till dess obevisliga premisser. Men i ett avseende kommer inte få av våra diskussioner att skilja sig från de som brukar kallas filosofiska. Vi kommer, tack vare matematikernas själva arbete, att kunna komma till visshet i fråga om de flesta frågor som vi kommer att ägna oss åt; och bland dem som är kapabla till en exakt lösning kommer vi att finna många av de problem som tidigare har varit inblandade i all den traditionella osäkerheten i filosofiska stridigheter. Antalet, oändlighetens, rummets, tidens och rörelsens natur och den matematiska slutsatsen i sig, är alla frågor som i detta arbete ett svar som bekänner sig påvisbart med matematisk säkerhet kommer att ges - ett svar som dock består i att reducera ovanstående problem till problem i ren logik, som sist inte kommer att hittas tillfredsställande lösta i det följande.