Algebraiska strukturer och Hamiltonianer från ekvivalensklasserna för 2D konforma algebras

Algebraiska strukturer och Hamiltonianer från ekvivalensklasserna för 2D konforma algebras

Konstruktionen av superintegrerbara system baserade på Lie-algebror och deras universella enveloping-algebror har studerats mycket under de senaste decennierna. De flesta konstruktioner förlitar sig dock på explicita operatörsförverkliganden och Marsden–Weinstein-reduktioner. I den här artikeln utvecklar vi ett algebraiskt tillvägagångssätt baserat på subalgebrorna i 2D-konformalgebra c(2). Detta gör det möjligt för oss att klassificera centraliserarna för den konformala algebras omslutande algebra och konstruera motsvarande Hamiltonianer med integraler i algebraisk form. Det har visat sig att de symmetrialgebror som ligger bakom dessa algebraiska Hamiltonianer är sexdimensionella kvadratiska algebror. Berezin-parenteserna och kommutationsrelationerna för de kvadratiska algebraiska strukturerna är stängda utan att förlita sig på explicita realiseringar eller representationer. Vi ger också Casimir-invarianter för symmetrialgebran. Vårt tillvägagångssätt ger algebraiska perspektiv för det senaste arbetet av Fordy och Huang om konstruktionen av superintegrerbara system i Darboux-rymden.

Superintegrerbara system har studerats ur olika perspektiv genom åren, med ansatser från klassisk och kvantmekanik, representationsteori och matematisk fysik [1–6]. Det har visat sig att symmetrialgebrametoder kan användas för att analysera fysiska system mer effektivt än andra tillvägagångssätt [7–11]. Det visades hur Lie-algebror, deras realiseringar och reduktioner tillåter en att erhålla superintegrerbara Hamiltonianer i samband med klassisk mekanik [12–14]. Till exempel, i [15–18] har olika superintegrerbara system på sfärer och pseudo-sfärer erhållits. Men de flesta av de tidigare studierna förlitar sig på användningen av explicita differentialoperatörsförverkliganden, Marsden–Weinstein-reduktionerna och kopplingar med speciella funktioner [19–21].

Först mycket nyligen fann man att ett helt algebraiskt tillvägagångssätt för superintegrerbara system kan etableras genom att inse att systemens integraler är så nära polynomalgebror i de envelopperande algebrorna för vissa Lie-algebror. Tillvägagångssättet implementerades framgångsrikt för su(3) [22] och gl(3) [23] genom att tillämpa ett schema baserat på kommutanter och algebraiseringar. Det utvidgas också till kommutanter angående Cartan-subalgebrerna för sl(n) [24] och vissa icke-semienkla algebror [25]. I det här dokumentet generaliserar vi proceduren ytterligare och presenterar konstruktionen av kommutanter avseende subalgebror, motsvarande algebraiska superintegrerbara Hamiltonianer och deras rörelseintegraler. Detta tillåter oss att föreslå ett nytt schema för att klassificera superintegrerbara system genom att klassificera subalgebror och relaterade kommutanter för en given Lie-algebra.

Nyligen insåg man att konforma algebror spelar en viktig roll för att klassificera superintegrerbara system i 2-dimensionella rum [2, 26–28]. I arbetet av Fordy och Huang [29–31], genom användning av specifika subalgebror, deras Casimir-operatorer och differentiella realisationer, visades det att superintegrerbara system i 2D och 3D konformt platta utrymmen är relaterade till superintegrerbara system i Darboux-rymden. Speciellt applicerades de konforma symmetrierna hos den 2D euklidiska metriken för att konstruera nya fria superintegrerbara system i 2D Darboux-utrymmena. I det här dokumentet kommer vi att undersöka olika abelianska och icke-abelianska subalgebra i den 2D-konforma algebran c(2) och föreslå ett nytt schema för att klassificera integrerbara och superintegrerbara system genom explicit konstruktion av kommutanter i förhållande till subalgebran.