Принципы математики

Принципы математики

Настоящая работа преследует две основные цели. Одно из них — доказательство того, что вся чистая математика имеет дело исключительно с понятиями, определяемыми в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий, и что все ее положения выводимы из очень небольшого числа фундаментальных логических принципов, — предпринято в частях II–VII этого тома и будет подтверждено строгими символическими рассуждениями во втором томе. Другая цель этой работы, занимающая часть I, — объяснение фундаментальных понятий, которые математика считает неопределимыми.

1. Чистая математика — это класс всех предложений вида «p подразумевает q», где p и q — предложения, содержащие одну или несколько переменных, одинаковых в обоих предложениях, и ни p, ни q не содержат никаких констант, кроме логических констант. А логические константы — это все понятия, которые можно определить в терминах следующего: импликация, отношение термина к классу, членом которого он является, понятие такого-то, понятие отношения и такие дополнительные понятия, которые могут быть включены в общее понятие предложений вышеуказанной формы. В дополнение к этому математика использует понятие, которое не является составной частью рассматриваемых ею предложений, а именно понятие истины.

2. Приведенное выше определение чистой математики, несомненно, несколько необычно. Тем не менее различные его части, по-видимому, способны получить точное обоснование — обоснование, предоставить которое и будет целью настоящей работы. Будет показано, что все, что в прошлом считалось чистой математикой, включено в наше определение, и что все остальное, что включено, обладает теми признаками, по которым математику обычно, хотя и смутно, отличают от других наук. Определение претендует на то, чтобы быть не произвольным решением использовать обычное слово в необычном значении, а, скорее, точным анализом идей, которые более или менее бессознательно подразумеваются при обычном использовании этого термина. Наш метод, следовательно, будет методом анализа, а нашу проблему можно назвать философской — в том смысле, что мы стремимся перейти от сложного к простому, от доказуемого к его недемонстрируемым предпосылкам. Но в одном отношении немало наших рассуждений будут отличаться от тех, которые принято называть философскими. Мы сможем, благодаря трудам самих математиков, прийти к уверенности в отношении большинства вопросов, которые нас будут интересовать; и среди тех, кто способен найти точное решение, мы найдем множество проблем, которые в прошлом были связаны со всей традиционной неопределенностью философских споров. Природа числа, бесконечности, пространства, времени и движения, а также сам математический вывод — все это вопросы, на которые в настоящей работе будет дан ответ, доказуемый с математической достоверностью, — ответ, который, однако, состоит в сведении вышеупомянутых проблем к проблемам чистой логики, последняя из которых не будет найдена удовлетворительно решенной в дальнейшем.