Алгебраические структуры и гамильтонианы из классов эквивалентности двумерных конформных алгебр

Алгебраические структуры и гамильтонианы из классов эквивалентности двумерных конформных алгебр

Построение суперинтегрируемых систем на основе алгебр Ли и их универсальных обертывающих алгебр широко изучается в последние десятилетия. Однако большинство конструкций основано на явных реализациях дифференциальных операторов и редукциях Марсдена – Вайнштейна. В этой статье мы развиваем алгебраический подход, основанный на подалгебрах двумерной конформной алгебры c(2). Это позволяет классифицировать централизаторы обертывающей алгебры конформной алгебры и построить соответствующие гамильтонианы с интегралами в алгебраической форме. Установлено, что алгебры симметрии, лежащие в основе этих алгебраических гамильтонианов, являются шестимерными квадратичными алгебрами. Скобки Березина и коммутационные соотношения квадратичных алгебраических структур замкнуты, не опираясь на явные реализации или представления. Мы также приводим инварианты Казимира алгебр симметрий. Наш подход открывает алгебраические перспективы для недавней работы Форди и Хуанга по построению суперинтегрируемых систем в пространствах Дарбу.

Суперинтегрируемые системы на протяжении многих лет изучались с разных точек зрения, охватывая подходы классической и квантовой механики, теории представлений и математической физики [1–6]. Было обнаружено, что подходы алгебры симметрии могут использоваться для анализа физических систем более эффективно, чем другие подходы [7–11]. Было показано, как алгебры Ли, их реализации и редукции позволяют получать суперинтегрируемые гамильтонианы в контексте классической механики [12–14]. Например, в [15–18] получены различные суперинтегрируемые системы на сферах и псевдосферах. Однако большинство предыдущих исследований опирается на использование явных реализаций дифференциальных операторов, редукций Марсдена–Вайнштейна и связей со специальными функциями [19–21].

Лишь совсем недавно было обнаружено, что полностью алгебраический подход к суперинтегрируемым системам может быть установлен, если осознать, что интегралы систем максимально близки к полиномиальным алгебрам в обертывающих алгебрах некоторых алгебр Ли. Подход был успешно реализован для su(3) [22] и gl(3) [23] путем применения схемы, основанной на коммутантах и ​​алгебраизациях. Оно также распространено на коммутанты, относящиеся к подалгебрам Картана в sl(n) [24] и некоторым неполупростым алгебрам [25]. В данной статье мы дополнительно обобщаем эту процедуру и представляем конструкцию коммутантов, касающихся подалгебр, соответствующих алгебраических суперинтегрируемых гамильтонианов и их интегралов движения. Это позволяет предложить новую схему классификации суперинтегрируемых систем путем классификации подалгебр и связанных с ними коммутантов данной алгебры Ли.

Недавно стало понятно, что конформные алгебры играют важную роль в классификации суперинтегрируемых систем в двумерных пространствах [2, 26–28]. В работах Форди и Хуанга [29–31] с помощью конкретных подалгебр, их операторов Казимира и дифференциальных реализаций было показано, что суперинтегрируемые системы в 2D и 3D конформно плоских пространствах связаны с суперинтегрируемыми системами в пространствах Дарбу. В частности, конформные симметрии двумерной евклидовой метрики были применены для построения новых свободных суперинтегрируемых систем в двумерных пространствах Дарбу. В этой статье мы рассмотрим различные абелевы и неабелевы подалгебры двумерной конформной алгебры c(2) и предложим новую схему классификации интегрируемых и суперинтегрируемых систем посредством явного построения коммутантов относительно подалгебр.