Os Princípios da Matemática

Os Princípios da Matemática

O presente trabalho tem dois objetivos principais. Uma delas, a prova de que toda matemática pura lida exclusivamente com conceitos definíveis em termos de um número muito pequeno de conceitos lógicos fundamentais, e que todas as suas proposições são dedutíveis de um número muito pequeno de princípios lógicos fundamentais, é realizada nas Partes II-VII deste volume, e será estabelecida por raciocínio simbólico estrito no Volume II. O outro objeto deste trabalho, que ocupa a Parte I, é a explicação dos conceitos fundamentais que a matemática aceita como indefiníveis.

1. Matemática Pura é a classe de todas as proposições da forma “p implica q”, onde p e q são proposições contendo uma ou mais variáveis, as mesmas nas duas proposições, e nem p nem q contêm quaisquer constantes, exceto constantes lógicas. E constantes lógicas são todas noções definíveis em termos do seguinte: Implicação, a relação de um termo com uma classe da qual é membro, a noção de tal que, a noção de relação e outras noções que possam estar envolvidas na noção geral de proposições da forma acima. Além destas, a matemática utiliza uma noção que não é constituinte das proposições que considera, nomeadamente a noção de verdade.

2. A definição acima de matemática pura é, sem dúvida, um tanto incomum. Suas diversas partes, no entanto, parecem ser passíveis de justificação exata – uma justificativa que será objeto do presente trabalho fornecer. Será demonstrado que tudo o que, no passado, foi considerado como matemática pura está incluído na nossa definição, e que tudo o mais que está incluído possui aquelas marcas pelas quais a matemática é comum, embora vagamente, distinguida de outros estudos. A definição professa ser não uma decisão arbitrária de usar uma palavra comum com um significado incomum, mas antes uma análise precisa das ideias que, mais ou menos inconscientemente, estão implícitas no emprego normal do termo. Nosso método será, portanto, de análise, e nosso problema pode ser chamado de filosófico – isto é, no sentido de que procuramos passar do complexo ao simples, do demonstrável às suas premissas indemonstráveis. Mas, num aspecto, não serão poucas as nossas discussões que diferirão daquelas que normalmente são chamadas de filosóficas. Seremos capazes, graças ao trabalho dos próprios matemáticos, de chegar à certeza no que diz respeito à maioria das questões que nos ocuparão; e entre aqueles capazes de uma solução exata encontraremos muitos dos problemas que, no passado, estiveram envolvidos em toda a incerteza tradicional da luta filosófica. A natureza do número, do infinito, do espaço, do tempo e do movimento, e da própria inferência matemática, são todas questões às quais, no presente trabalho, será dada uma resposta que se professa demonstrável com certeza matemática - uma resposta que, no entanto, consiste em reduzir os problemas acima a problemas de lógica pura, que por último não serão encontrados satisfatoriamente resolvidos no que se segue.