Estruturas Algébricas e Hamiltonianos das Classes de Equivalência de Álgebras Conformes 2D

Estruturas Algébricas e Hamiltonianos das Classes de Equivalência de Álgebras Conformes 2D

A construção de sistemas superintegráveis ​​baseados em álgebras de Lie e suas álgebras envolventes universais tem sido amplamente estudada nas últimas décadas. No entanto, a maioria das construções baseia-se em realizações explícitas de operadores diferenciais e em reduções de Marsden-Weinstein. Neste artigo, desenvolvemos uma abordagem algébrica baseada nas subálgebras da álgebra conformada 2D c(2). Isso nos permite classificar os centralizadores da álgebra envolvente da álgebra conforme e construir os hamiltonianos correspondentes com integrais na forma algébrica. Verifica-se que as álgebras de simetria subjacentes a esses hamiltonianos algébricos são álgebras quadráticas hexadimensionais. Os colchetes de Berezin e as relações de comutação das estruturas algébricas quadráticas são fechados sem depender de realizações ou representações explícitas. Damos também os invariantes de Casimir das álgebras de simetria. Nossa abordagem fornece perspectivas algébricas para o trabalho recente de Fordy e Huang sobre a construção de sistemas superintegráveis ​​nos espaços de Darboux.

Sistemas superintegráveis ​​​​têm sido estudados de diferentes perspectivas ao longo dos anos, abrangendo abordagens da mecânica clássica e quântica, teoria da representação e física matemática [1–6]. Foi descoberto que abordagens de álgebra de simetria podem ser usadas para analisar sistemas físicos de forma mais eficaz do que outras abordagens [7–11]. Foi mostrado como as álgebras de Lie, suas realizações e reduções permitem obter hamiltonianos superintegráveis ​​no contexto da mecânica clássica [12–14]. Por exemplo, em [15–18] vários sistemas superintegráveis ​​em esferas e pseudoesferas foram obtidos. No entanto, a maioria dos estudos anteriores baseia-se no uso de realizações explícitas de operadores diferenciais, nas reduções de Marsden-Weinstein e em conexões com funções especiais [19–21].

Apenas muito recentemente foi descoberto que uma abordagem inteiramente algébrica para sistemas superintegráveis ​​pode ser estabelecida percebendo-se que as integrais dos sistemas são tão próximas das álgebras polinomiais nas álgebras envolventes de certas álgebras de Lie. A abordagem foi implementada com sucesso para su(3) [22] e gl(3) [23] aplicando um esquema baseado em comutantes e algebrizações. Também é estendido a comutantes em relação às subálgebras de Cartan de sl(n) [24] e certas álgebras não semisimples [25]. Neste artigo, generalizamos ainda mais o procedimento e apresentamos a construção de comutantes referentes a subálgebras, os hamiltonianos algébricos superintegráveis ​​correspondentes e suas integrais de movimento. Isto nos permite propor um novo esquema para classificação de sistemas superintegráveis, classificando subálgebras e comutantes relacionados de uma determinada álgebra de Lie.

Recentemente percebeu-se que as álgebras conformes desempenham um papel importante na classificação de sistemas superintegráveis ​​em espaços bidimensionais [2, 26–28]. No trabalho de Fordy e Huang [29–31], através do uso de subálgebras específicas, seus operadores Casimir e realizações diferenciais, foi demonstrado que sistemas superintegráveis ​​em espaços conformalmente planos 2D e 3D estão relacionados a sistemas superintegráveis ​​em espaços de Darboux. Em particular, as simetrias conformes da métrica euclidiana 2D foram aplicadas para construir novos sistemas superintegráveis ​​livres nos espaços 2D de Darboux. Neste artigo, examinaremos várias subálgebras abelianas e não-abelianas da álgebra conformada 2D c(2) e proporemos um novo esquema para classificar sistemas integráveis ​​e superintegráveis ​​através da construção explícita de comutantes relativos às subálgebras.