Zasady matematyki

Zasady matematyki

Niniejsza praca ma dwa główne cele. Jeden z nich, dowód, że wszelka czysta matematyka zajmuje się wyłącznie pojęciami dającymi się zdefiniować w kategoriach bardzo małej liczby podstawowych pojęć logicznych i że wszystkie jej twierdzenia dają się wyprowadzić z bardzo małej liczby podstawowych zasad logicznych, zostanie przeprowadzony w częściach II–VII tego tomu, a zostanie ustalony za pomocą ścisłego rozumowania symbolicznego w tomie II. Drugim przedmiotem tej pracy, zajmującym część I, jest wyjaśnienie podstawowych pojęć, które matematyka przyjmuje jako niedefiniowalne.

1. Czysta matematyka to klasa wszystkich zdań w postaci „p implikuje q”, gdzie p i q są zdaniami zawierającymi jedną lub więcej zmiennych, takich samych w obu zdaniach, i ani p, ani q nie zawierają żadnych stałych z wyjątkiem stałych logicznych. Stałymi logicznymi są wszystkie pojęcia, które można zdefiniować w kategoriach: implikacji, stosunku terminu do klasy, której on jest członkiem, pojęcia takiego, pojęcia relacji i innych pojęć, które mogą być zawarte w ogólnym pojęciu zdań powyższej formy. Oprócz tego matematyka posługuje się pojęciem, które nie jest składnikiem rozważanych przez nią twierdzeń, a mianowicie pojęciem prawdy.

2. Powyższa definicja czystej matematyki jest niewątpliwie dość niezwykła. Wydaje się jednak, że różne jego części nadają się do dokładnego uzasadnienia — uzasadnienia, którego przedstawienie będzie przedmiotem niniejszej pracy. Wykażemy, że wszystko, co w przeszłości uważano za czystą matematykę, mieści się w naszej definicji i że wszystko, co jeszcze jest w niej zawarte, posiada te cechy, dzięki którym matematyka jest powszechnie, choć niejasno, odróżniana od innych nauk. Definicja ta nie jest arbitralną decyzją o użyciu pospolitego słowa w nietypowym znaczeniu, ale raczej precyzyjną analizą idei, które, mniej lub bardziej nieświadomie, implikuje się w zwykłym użyciu tego terminu. Nasza metoda będzie zatem metodą analizy, a nasz problem można nazwać filozoficznym – w tym sensie, że staramy się przejść od złożonego do prostego, od tego, co da się wykazać, do jego przesłanek, których nie da się wykazać. Ale pod jednym względem niemało naszych dyskusji będzie się różnić od tych, które zwykle nazywa się filozoficznymi. Dzięki wysiłkom samych matematyków będziemy mogli uzyskać pewność co do większości zagadnień, którymi będziemy się zajmować; a wśród tych, które potrafią znaleźć dokładne rozwiązanie, znajdziemy wiele problemów, które w przeszłości były przyczyną całej tradycyjnej niepewności sporów filozoficznych. Natura liczby, nieskończoności, przestrzeni, czasu i ruchu, a także samo wnioskowanie matematyczne – oto pytania, na które w tej pracy zostanie udzielona odpowiedź, która sama w sobie jest możliwa do udowodnienia z matematyczną pewnością – odpowiedź, która jednak polega na sprowadzeniu powyższych problemów do problemów czystej logiki, które w dalszym ciągu nie zostaną zadowalająco rozwiązane.