Struktury algebraiczne i hamiltoniany z klas równoważności algebr konforemnych 2D

Struktury algebraiczne i hamiltoniany z klas równoważności algebr konforemnych 2D

Konstrukcja układów supercałkowalnych w oparciu o algebry Liego i ich uniwersalne algebry obwiedniowe była szeroko badana w ciągu ostatnich dziesięcioleci. Jednak większość konstrukcji opiera się na jawnych realizacjach operatora różniczkowego i redukcjach Marsdena-Weinsteina. W tym artykule rozwijamy podejście algebraiczne oparte na podalgebrach dwuwymiarowej algebry konforemnej c(2). To pozwala nam sklasyfikować centralizatory algebry otaczającej algebry konforemnej i skonstruować odpowiednie hamiltoniany z całkami w postaci algebraicznej. Stwierdzono, że algebry symetrii leżące u podstaw tych algebraicznych Hamiltonianów są sześciowymiarowymi algebrami kwadratowymi. Nawiasy Berezina i relacje komutacyjne kwadratowych struktur algebraicznych są zamknięte bez polegania na wyraźnych realizacjach lub reprezentacjach. Podajemy także niezmienniki Casimira algebr symetrii. Nasze podejście zapewnia perspektywy algebraiczne dla niedawnej pracy Fordy'ego i Huanga nad konstrukcją systemów superintegrowalnych w przestrzeniach Darboux.

Układy superintegrowalne badano przez lata z różnych perspektyw, obejmujących podejścia z mechaniki klasycznej i kwantowej, teorii reprezentacji i fizyki matematycznej [1–6]. Stwierdzono, że metody algebry symetrii mogą być stosowane do analizy układów fizycznych skuteczniej niż inne podejścia [7–11]. Pokazano, jak algebry Liego, ich realizacje i redukcje pozwalają otrzymać supercałkowalne hamiltoniany w kontekście mechaniki klasycznej [12–14]. Przykładowo w [15–18] otrzymano różne układy superintegrowalne na kulach i pseudosferach. Jednak większość dotychczasowych badań opierała się na wykorzystaniu jawnych realizacji operatora różniczkowego, redukcji Marsdena-Weinsteina i połączeń z funkcjami specjalnymi [19–21].

Dopiero niedawno odkryto, że można zastosować całkowicie algebraiczne podejście do systemów supercałkowalnych, uświadamiając sobie, że całki systemów są bardzo zbliżone do algebr wielomianowych w algebrach otaczających niektórych algebr Liego. Podejście to zostało pomyślnie wdrożone dla su(3) [22] i gl(3) [23] poprzez zastosowanie schematu opartego na komutantach i algebraizacjach. Jest on również rozszerzony na komutanty dotyczące podalgebr Cartana sl(n) [24] i niektórych algebr niepółprostych [25]. W artykule uogólniamy procedurę i przedstawiamy konstrukcję komutantów dotyczących podalgebr, odpowiadających im hamiltonianów algebraicznych supercałkowalnych i ich całek ruchu. Pozwala to zaproponować nowy schemat klasyfikacji systemów superintegrowalnych poprzez klasyfikację podalgebr i powiązanych komutantów danej algebry Liego.

Ostatnio zdano sobie sprawę, że algebra konforemna odgrywa ważną rolę w klasyfikacji układów superintegrowalnych w przestrzeniach dwuwymiarowych [2, 26–28]. W pracy Fordy’ego i Huanga [29–31], poprzez zastosowanie konkretnych podalgebr, ich operatorów Casimira i realizacji różniczkowych, wykazano, że systemy superintegrowalne w przestrzeniach konformalnie płaskich 2D i 3D są powiązane z systemami superintegrowalnymi w przestrzeniach Darboux. W szczególności zastosowano symetrie konforemne metryki euklidesowej 2D do skonstruowania nowych wolnych układów superintegrowalnych w przestrzeniach Darboux 2D. W tym artykule zbadamy różne podalgebry abelowe i nieabelowe dwuwymiarowej algebry konformalnej c(2) i zaproponujemy nowy schemat klasyfikacji systemów całkowalnych i supercałkowalnych poprzez jawną konstrukcję komutantów względem podalgebr.