Prinsippene for matematikk

Prinsippene for matematikk

Dette verket har to hovedformål. Ett av disse, beviset på at all ren matematikk utelukkende omhandler begreper som kan defineres i form av et svært lite antall grunnleggende logiske begreper, og at alle dens proposisjoner kan utledes fra et svært lite antall grunnleggende logiske prinsipper, er utført i Del II–VII av dette bindet, og vil bli etablert ved strenge symbolske resonnementer i bind II. Det andre formålet med dette arbeidet, som opptar del I, er forklaringen av de grunnleggende begrepene som matematikken aksepterer som udefinerbare.

1. Ren matematikk er klassen av alle proposisjoner av formen "p innebærer q," der p og q er proposisjoner som inneholder en eller flere variabler, de samme i de to proposisjonene, og verken p eller q inneholder noen konstanter bortsett fra logiske konstanter. Og logiske konstanter er alle begreper som kan defineres i termer av følgende: Implikasjon, relasjonen av et begrep til en klasse som det er medlem av, begrepet slikt, begrepet relasjon, og slike ytterligere forestillinger som kan være involvert i den generelle forestillingen om proposisjoner av formen ovenfor. I tillegg til disse bruker matematikken en forestilling som ikke er en bestanddel av de påstandene den vurderer, nemlig forestillingen om sannhet.

2. Definisjonen ovenfor av ren matematikk er uten tvil noe uvanlig. Dens forskjellige deler ser ikke desto mindre ut til å være i stand til nøyaktig begrunnelse - en begrunnelse som det vil være formålet med dette arbeidet å gi. Det vil bli vist at det som tidligere har blitt sett på som ren matematikk, er inkludert i vår definisjon, og at alt annet som er inkludert har de karakterene som matematikk vanligvis skiller seg vagt fra andre studier med. Definisjonen hevder å være, ikke en vilkårlig beslutning om å bruke et vanlig ord i en uvanlig betydning, men snarere en presis analyse av ideene som, mer eller mindre ubevisst, er underforstått i den vanlige bruken av begrepet. Vår metode vil derfor være en analyse, og vår problemstilling kan kalles filosofisk – i den forstand, det vil si at vi søker å gå fra det komplekse til det enkle, fra det påviselige til dets upåviselige premisser. Men på en måte vil ikke få av diskusjonene våre skille seg fra de som vanligvis kalles filosofiske. Vi skal, takket være matematikernes arbeid, være i stand til å komme frem til sikkerhet med hensyn til de fleste spørsmålene vi skal være opptatt av; og blant dem som er i stand til en eksakt løsning, vil vi finne mange av problemene som tidligere har vært involvert i all den tradisjonelle usikkerheten i filosofiske stridigheter. Arten av tall, uendelighet, rom, tid og bevegelse, og selve matematiske slutninger, er alle spørsmål som i dette verket vil gis et svar som kan påvises med matematisk sikkerhet – et svar som imidlertid består i å redusere de ovennevnte problemene til problemer i ren logikk, som sist ikke vil bli funnet tilfredsstillende løst i det følgende.