Algebraiske strukturer og Hamiltonianere fra ekvivalensklassene til 2D konformalgebraer

Algebraiske strukturer og Hamiltonianere fra ekvivalensklassene til 2D konformalgebraer

Konstruksjonen av superintegrerbare systemer basert på Lie-algebraer og deres universelle omsluttende algebraer har blitt mye studert de siste tiårene. Imidlertid er de fleste konstruksjoner avhengige av eksplisitte differensielle operatørrealiseringer og Marsden–Weinstein-reduksjoner. I denne artikkelen utvikler vi en algebraisk tilnærming basert på subalgebraene til 2D-konformalgebraen c(2). Dette lar oss klassifisere sentralisatorene til den omsluttende algebraen til den konforme algebraen og konstruere de tilsvarende Hamiltonianerne med integraler i algebraisk form. Det er funnet at symmetrialgebraene som ligger til grunn for disse algebraiske Hamiltonianerne, er seksdimensjonale kvadratiske algebraer. Berezin-parentesene og kommutasjonsrelasjonene til de kvadratiske algebraiske strukturene er lukket uten å stole på eksplisitte erkjennelser eller representasjoner. Vi gir også Casimir-invariantene til symmetrialgebraene. Vår tilnærming gir algebraiske perspektiver for det nylige arbeidet til Fordy og Huang om konstruksjon av superintegrerbare systemer i Darboux-rommene.

Superintegrerbare systemer har blitt studert fra forskjellige perspektiver gjennom årene, og omfatter tilnærminger fra klassisk og kvantemekanikk, representasjonsteori og matematisk fysikk [1–6]. Det har blitt funnet at symmetrialgebra-tilnærminger kan brukes til å analysere fysiske systemer mer effektivt enn andre tilnærminger [7–11]. Det ble vist hvordan Lie-algebraer, deres realiseringer og reduksjoner lar en oppnå superintegrerbare Hamiltonianere i sammenheng med klassisk mekanikk [12–14]. For eksempel, i [15–18] er det oppnådd forskjellige superintegrerbare systemer på kuler og pseudokuler. Imidlertid er de fleste av de tidligere studiene avhengige av bruken av eksplisitte differensielle operatørrealiseringer, Marsden–Weinstein-reduksjonene og forbindelser med spesielle funksjoner [19–21].

Bare ganske nylig ble det funnet at en fullstendig algebraisk tilnærming til superintegrerbare systemer kan etableres ved å innse at integralene til systemene er så nær polynomalgebraer i de omsluttende algebraene til visse Lie-algebraer. Tilnærmingen ble vellykket implementert for su(3) [22] og gl(3) [23] ved å bruke et skjema basert på kommutanter og algebraiseringer. Det er også utvidet til kommutanter angående Cartan-subalgebraene til sl(n) [24] og visse ikke-halvenkle algebraer [25]. I denne artikkelen generaliserer vi prosedyren ytterligere og presenterer konstruksjonen av kommutanter angående subalgebraer, de tilsvarende algebraiske superintegrerbare Hamiltonianerne og deres bevegelsesintegraler. Dette tillater oss å foreslå et nytt opplegg for klassifisering av superintegrerbare systemer ved å klassifisere subalgebraer og relaterte kommutanter til en gitt Lie-algebra.

Nylig ble det innsett at konforme algebraer spiller en viktig rolle i klassifisering av superintegrerbare systemer i 2-dimensjonale rom [2, 26–28]. I arbeidet til Fordy og Huang [29–31], gjennom bruk av spesifikke subalgebraer, deres Casimir-operatorer og differensielle realiseringer, ble det vist at superintegrerbare systemer i 2D- og 3D-konformt flate rom er relatert til superintegrerbare systemer i Darboux-rom. Spesielt ble de konforme symmetriene til den 2D euklidiske metrikken brukt for å konstruere nye frie superintegrerbare systemer i 2D Darboux-rommene. I denne artikkelen vil vi undersøke ulike abelske og ikke-abiske subalgebraer av den 2D konforme algebraen c(2) og foreslå et nytt opplegg for klassifisering av integrerbare og superintegrerbare systemer gjennom eksplisitt konstruksjon av kommutanter i forhold til subalgebraene.