De principes van de wiskunde

De principes van de wiskunde

Het huidige werk heeft twee hoofddoelen. Eén daarvan, het bewijs dat alle zuivere wiskunde zich uitsluitend bezighoudt met concepten die definieerbaar zijn in termen van een zeer klein aantal fundamentele logische concepten, en dat al haar proposities afleidbaar zijn uit een zeer klein aantal fundamentele logische principes, wordt geleverd in de delen II-VII van dit boek, en zal worden bevestigd door strikt symbolisch redeneren in Deel II. Het andere doel van dit werk, dat deel I beslaat, is de verklaring van de fundamentele concepten die de wiskunde als ondefinieerbaar accepteert.

1. Zuivere Wiskunde is de klasse van alle proposities van de vorm ‘p impliceert q’, waarbij p en q proposities zijn die een of meer variabelen bevatten, dezelfde in de twee proposities, en noch p noch q enige constanten bevat behalve logische constanten. En logische constanten zijn alle begrippen die kunnen worden gedefinieerd in termen van het volgende: implicatie, de relatie van een term tot een klasse waarvan hij lid is, de notie van zodanig dat, de notie van relatie, en verdere noties die betrokken kunnen zijn bij de algemene notie van proposities van de bovenstaande vorm. Daarnaast gebruikt de wiskunde een notie die geen bestanddeel is van de proposities die zij beschouwt, namelijk de notie van waarheid.

2. De bovenstaande definitie van zuivere wiskunde is ongetwijfeld enigszins ongebruikelijk. De verschillende delen ervan lijken niettemin in staat te zijn tot een exacte rechtvaardiging - een rechtvaardiging die het doel van dit werk zal zijn om te verschaffen. Er zal worden aangetoond dat alles wat in het verleden als zuivere wiskunde werd beschouwd, onder onze definitie valt, en dat al het overige datgene bevat waardoor de wiskunde gewoonlijk, zij het vaag, wordt onderscheiden van andere studies. De definitie beweert niet een willekeurige beslissing te zijn om een ​​gewoon woord in een ongebruikelijke betekenis te gebruiken, maar eerder een nauwkeurige analyse van de ideeën die, min of meer onbewust, impliciet zijn in het gewone gebruik van de term. Onze methode zal daarom een ​​analysemethode zijn, en ons probleem kan filosofisch worden genoemd – in de zin dat we proberen over te gaan van het complexe naar het eenvoudige, van het aantoonbare naar de ondemonstreerbare premissen ervan. Maar in één opzicht zullen niet weinig van onze discussies verschillen van de discussies die gewoonlijk filosofisch worden genoemd. Dankzij de inspanningen van de wiskundigen zelf zullen we in staat zijn tot zekerheid te komen met betrekking tot de meeste vragen waarmee we ons zullen bezighouden; en onder degenen die in staat zijn tot een exacte oplossing zullen we veel van de problemen vinden die in het verleden betrokken zijn geweest bij alle traditionele onzekerheid van filosofische strijd. De aard van het getal, van de oneindigheid, van ruimte, tijd en beweging, en van de wiskundige gevolgtrekking zelf, zijn allemaal vragen waarop in dit werk een antwoord zal worden gegeven dat beweert aantoonbaar te zijn met wiskundige zekerheid - een antwoord dat echter bestaat uit het reduceren van de bovengenoemde problemen tot problemen van zuivere logica, die in het vervolg niet op bevredigende wijze zullen worden opgelost.