Algebraïsche structuren en Hamiltonianen uit de gelijkwaardigheidsklassen van 2D-conforme algebra's

Algebraïsche structuren en Hamiltonianen uit de gelijkwaardigheidsklassen van 2D-conforme algebra's

De constructie van superintegreerbare systemen op basis van Lie-algebra's en hun universele omhullende algebra's is de afgelopen decennia uitgebreid bestudeerd. De meeste constructies zijn echter afhankelijk van expliciete realisaties van differentiële operatoren en Marsden-Weinstein-reducties. In dit artikel ontwikkelen we een algebraïsche benadering gebaseerd op de subalgebra's van de 2D-conforme algebra c(2). Dit stelt ons in staat de centralisers van de omhullende algebra van de conforme algebra te classificeren en de overeenkomstige Hamiltonianen met integralen in algebraïsche vorm te construeren. Het blijkt dat de symmetriealgebra's die ten grondslag liggen aan deze algebraïsche Hamiltonianen zesdimensionale kwadratische algebra's zijn. De Berezin-haakjes en commutatierelaties van de kwadratische algebraïsche structuren zijn gesloten zonder te vertrouwen op expliciete realisaties of representaties. We geven ook de Casimir-invarianten van de symmetriealgebra's. Onze aanpak biedt algebraïsche perspectieven voor het recente werk van Fordy en Huang over de constructie van superintegreerbare systemen in de Darboux-ruimten.

Superintegreerbare systemen zijn door de jaren heen vanuit verschillende perspectieven bestudeerd, waarbij benaderingen uit de klassieke en kwantummechanica, de representatietheorie en de wiskundige natuurkunde zijn betrokken [1–6]. Er is ontdekt dat symmetrie-algebra-benaderingen kunnen worden gebruikt om fysieke systemen effectiever te analyseren dan andere benaderingen [7-11]. Er werd aangetoond hoe Lie-algebra's, hun realisaties en reducties het mogelijk maken om superintegreerbare Hamiltonianen te verkrijgen in de context van de klassieke mechanica [12–14]. In [15–18] zijn bijvoorbeeld verschillende superintegreerbare systemen op sferen en pseudo-sferen verkregen. De meeste eerdere onderzoeken zijn echter gebaseerd op het gebruik van expliciete differentiaaloperatorrealisaties, de Marsden-Weinstein-reducties en verbindingen met speciale functies [19-21].

Pas zeer recent werd ontdekt dat een volledig algebraïsche benadering van superintegreerbare systemen tot stand kan worden gebracht door te beseffen dat de integralen van de systemen even dicht bij polynomiale algebra's liggen in de omhullende algebra's van bepaalde Lie-algebra's. De aanpak werd met succes geïmplementeerd voor su(3) [22] en gl(3) [23] door een schema toe te passen dat gebaseerd was op commutanten en algebraisaties. Het wordt ook uitgebreid tot commutanten met betrekking tot de Cartan-subalgebra's van sl(n) [24] en bepaalde niet-semi-eenvoudige algebra's [25]. In dit artikel generaliseren we de procedure verder en presenteren we de constructie van commutanten met betrekking tot subalgebra's, de overeenkomstige algebraïsche superintegreerbare Hamiltonianen, en hun bewegingsintegralen. Dit stelt ons in staat een nieuw schema voor te stellen voor het classificeren van superintegreerbare systemen door subalgebra's en gerelateerde commutanten van een gegeven Lie-algebra te classificeren.

Onlangs werd gerealiseerd dat conforme algebra's een belangrijke rol spelen bij het classificeren van superintegreerbare systemen in tweedimensionale ruimtes [2, 26–28]. In het werk van Fordy en Huang [29–31] werd door het gebruik van specifieke subalgebra's, hun Casimir-operatoren en differentiële realisaties aangetoond dat superintegreerbare systemen in 2D- en 3D-conformaal vlakke ruimtes gerelateerd zijn aan superintegreerbare systemen in Darboux-ruimten. In het bijzonder werden de conforme symmetrieën van de 2D Euclidische metriek toegepast om nieuwe, gratis superintegreerbare systemen in de 2D Darboux-ruimten te construeren. In dit artikel zullen we verschillende Abelse en niet-Abelse subalgebra's van de 2D-conforme algebra c(2) onderzoeken en een nieuw schema voorstellen voor het classificeren van integreerbare en superintegreerbare systemen door expliciete constructie van commutanten ten opzichte van de subalgebra's.