세타 미적분학 입문

세타 미적분학 입문

세타 미적분학(Theta-calculus)은 순차적 과정, 금융 계약, 그리고 게임 이론의 다기간 전략을 기술하기 위한 수학적 연산 체계이다. 이 체계를 사용하면 현재로서는 명시적인 수학적 형태로 쓸 수 없는 모든 거래 전략과 금융 상품을 명시적으로 표기할 수 있다. 그러면 모든 종류의 계약, 전략, 다기간 게임을 '기다림', '거래', '결정'이라는 세 가지 기본 효과로 이루어진 어휘를 통해 그 양적 함의의 관점에서 포착할 수 있다. 각 기본 활동은 하나의 연산자로 표현되며, 이는 연산자 열 안에서 시간 순서로 배열된 사건의 목록으로 해석될 수 있다. 그리고 그 연산자 항은 해당 전략의 최종 결과를 평가하기 위한 명시적 공식이기도 하다. 세타 미적분학은 금융 상품의 표기에 특히 유용한데, 그중 다수는 현재 명시적으로 표현할 수 없기 때문이다.

정량 금융은 과정을 다루는 과학 분야 가운데 가장 활발히 연구되는 분야 중 하나이다. 금융에는 확률 과정과 결정론적 과정은 물론 의사결정 이론과 게임 이론의 여러 측면이 나타난다. 그러나 방대한 수학 이론과 개념의 배경에도 불구하고, 통용되는 금융 연산으로는 거래와 시장 분석의 가장 근본적인 측면 하나를 형식화할 수 없다. 즉 금융 연산에는 인간의 거래 활동과 많은 금융 상품을 나타내는 명시적 수학 기호가 결여되어 있다. 아메리칸 옵션을 시작으로, 자명하지 않은 기간 간 의사결정이나 최적화를 필요로 하는 모든 것은 그 상품 평가를 대수적으로 도출할 수 있는 합리적인 형태로 표현될 수 없다.

정교한 계약 유형과 투자 목표는 일반적으로 산문 형태로만 규정되며, 대개 관계자가 아니면 해석하기 어려운 전문 용어를 사용한다. 이러한 표현은 수학적으로 평가하기 어려워 하나하나 공식과 컴퓨터 코드로 옮겨야 한다. 더 큰 일반성을 추구하려는 이들은 대개 매개변수와 수학적 개념의 팽창에 부딪히게 된다.

기술적 포트폴리오 표현에 대한 업계의 요구를 충족하기 위해 기존 프로그래밍 언어 방언을 확장하는 작업이 이루어져 왔다. 가장 주목할 만한 성과는 함수형 프로그래밍 언어 Caml에 기반한 MLFi와 XML 표준인 FpML이다. 그러나 둘 다 이론적 성질을 도출하기 위한 수학적 틀을 제공하지는 못한다. 그 어휘는 방대하고 지금도 확장되고 있으며, 상품 표현에서 평가 절차에 이르기까지의 거리가 멀어 모형의 모호성과 비일관성에 대한 우려를 낳고 있다.