수학의 원리

수학의 원리

현재 작업에는 두 가지 주요 목적이 있습니다. 그 중 하나는 모든 순수수학이 아주 소수의 기본 논리 개념으로 정의할 수 있는 개념만을 다루고 모든 명제가 아주 소수의 기본 논리 원리로부터 연역될 수 있다는 증명이 이 책의 제2부~7부에서 이루어지며, 제2권에서는 엄격한 상징적 추론을 통해 확립될 것입니다. 1부를 차지하는 이 작업의 또 다른 목적은 수학이 정의할 수 없는 것으로 받아들이는 기본 개념에 대한 설명입니다.

1. 순수 수학은 "p가 q를 암시한다"라는 형식의 모든 명제의 클래스입니다. 여기서 p와 q는 하나 이상의 변수를 포함하는 명제이며 두 명제에서도 동일하며 p와 q 모두 논리 상수를 제외한 어떤 상수도 포함하지 않습니다. 그리고 논리 상수는 다음과 같은 측면에서 정의할 수 있는 모든 개념입니다. 암시, 용어가 구성원인 클래스에 대한 관계, 그런 개념, 관계의 개념, 위 형식의 명제의 일반 개념에 포함될 수 있는 추가 개념. 이 외에도 수학은 자신이 고려하는 명제의 구성요소가 아닌 개념, 즉 진리 개념을 사용합니다.

2. 순수 수학에 대한 위의 정의는 의심할 바 없이 다소 특이합니다. 그럼에도 불구하고 그 다양한 부분은 정확한 정당화, 즉 현재 작업의 목적이 제공할 정당화가 가능한 것으로 보입니다. 과거에 순수한 수학으로 간주되었던 모든 것이 우리의 정의에 포함되며, 그 밖의 무엇이 포함되었든 수학이 다른 연구와 모호하기는 하지만 일반적으로 구별되는 특징을 가지고 있다는 것이 밝혀질 것입니다. 이 정의는 일반적인 단어를 흔하지 않은 의미로 사용하기로 한 자의적인 결정이 아니라 오히려 그 용어의 일반적인 사용에 어느 정도 무의식적으로 암시되어 있는 개념에 대한 정확한 분석이라고 공언합니다. 따라서 우리의 방법은 분석 중 하나일 것이며 우리의 문제는 철학적이라고 부를 수 있습니다. 즉, 우리는 복잡한 것에서 단순한 것으로, 증명할 수 있는 것에서 증명할 수 없는 전제로 나아가려고 노력한다는 의미입니다. 그러나 한 가지 측면에서 우리의 논의 중 적지 않은 부분이 일반적으로 철학적이라고 불리는 논의와 다를 것입니다. 우리는 수학자들의 노고 덕분에 우리가 관심을 두는 대부분의 문제에 관해 확실성에 도달할 수 있을 것입니다. 그리고 정확한 해결이 가능한 사람들 중에서 우리는 과거에 철학적 갈등의 모든 전통적인 불확실성과 관련된 많은 문제를 발견하게 될 것입니다. 수, 무한, 공간, 시간, 운동, 수학적 추론 그 자체의 본질은 모두 이 연구에서 수학적 확실성을 통해 증명할 수 있는 대답이 주어질 것입니다. 그러나 그 대답은 위의 문제를 순수한 논리학의 문제로 환원하는 것으로 구성되며, 마지막으로 이 문제는 다음에서 만족스럽게 해결되지 않을 것입니다.