シータ計算入門

シータ計算入門

シータ計算（Theta-calculus）は、逐次過程、金融契約、およびゲーム理論における多期間戦略を記述するための数学的演算である。この演算により、これまで明示的な数学的形式で書くことができなかったあらゆる取引戦略と金融商品を、明示的に表記することが可能になる。そうして、あらゆる種類の契約、戦略、多期間ゲームを、「待つ」「取引する」「決定する」という三つの基本的作用からなる語彙によって、その定量的な含意の観点から捉えることができる。個々の基本活動は作用素によって表され、それらは作用素列の中で時系列順の出来事のリストとして解釈される。そして作用素項は、当該戦略の最終結果を評価するための明示的な式でもある。シータ計算は金融商品の表記にとりわけ有用であり、その多くは現在、明示的に表現することができない。

計量ファイナンスは、過程を扱う科学分野の中でも最も活発に研究されている領域の一つである。金融には、確率過程や決定過程、さらには決定理論やゲーム理論の多くの側面が見いだされる。しかし、豊富な数学的理論と概念を背景に持ちながら、既存の金融演算は取引や市場分析の最も根本的な側面の一つを形式化できないでいる。すなわち、金融演算には人間の取引活動や多くの金融商品を表す明示的な数学的記法が欠けている。アメリカン・オプションをはじめ、自明でない期間的な意思決定や最適化を要するものはすべて、その商品評価を代数的に導き出せるような合理的な形で表現することができない。

精巧な契約類型や投資目標は、通常、散文の形でのみ規定され、しかも部外者には解釈の難しい専門用語を用いることが多い。そのような表現は数学的に評価するのが難しく、個別に数式やコンピュータ・コードへ翻訳しなければならない。より大きな一般性を追求しようとする者は、たいていパラメータと数学的概念の膨張に悩まされることになる。

技術的なポートフォリオ表現に対する業界の要請に応えるため、既存のプログラミング言語の方言を拡張する開発が行われてきた。最も注目すべき成果は、関数型プログラミング言語 Caml を基盤とする MLFi と、XML 標準の FpML である。しかし、いずれも理論的性質を導出するための数学的枠組みを提供してはいない。その語彙は膨大で今も拡張され続けており、しかも商品表現から評価手続きまでの距離が大きいため、モデルの曖昧さや不整合への懸念が生じている。