数学の諸原理

数学の諸原理

この作品には主に 2 つの目的があります。その 1 つである、すべての純粋数学は、非常に少数の基本的な論理概念によって定義可能な概念のみを扱っており、そのすべての命題は非常に少数の基本的な論理原理から演繹可能であるという証明は、この巻の第 II 部から第 VII 部で行われ、第 2 巻で厳密な記号推論によって確立されます。第 I 部を占めるこの著作のもう 1 つの目的は、数学が定義不可能であると認めている基本概念の説明です。

1. 純粋数学は、「p implies q」という形式のすべての命題のクラスです。ここで、p と q は 1 つ以上の変数を含む命題であり、2 つの命題で同じであり、p も q も論理定数以外の定数を含みません。そして、論理定数は、次の観点から定義可能なすべての概念です: 含意、項とそれがメンバーであるクラスとの関係、そのような概念、関係の概念、および上記の形式の命題の一般的な概念に含まれる可能性のあるさらなる概念。これらに加えて、数学は考慮する命題の構成要素ではない概念、すなわち真理の概念を使用します。

2. 純粋数学の上記の定義は、疑いもなく、やや特殊です。それにもかかわらず、そのさまざまな部分は正確な正当化が可能であるように見えます。この正当化を提供することが、本研究の目的です。過去に純粋数学とみなされてきたものはすべて私たちの定義に含まれており、その他に含まれるものは、漠然とではあるが一般的に数学を他の研究と区別するためのマークを備えていることが示されるでしょう。この定義は、一般的な単語を珍しい意味で使用するという恣意的な決定ではなく、むしろその用語の通常の使用に多かれ少なかれ無意識のうちに暗示される概念の正確な分析であると主張しています。したがって、私たちの方法は分析の 1 つであり、私たちの問題は、複雑な前提から単純な前提へ、実証可能な前提から実証不可能な前提へ移行しようとするという意味で、哲学的と呼ばれるかもしれません。しかし、ある点では、私たちの議論の少なからずは、通常哲学的と呼ばれるものとは異なります。数学者自身の努力のおかげで、私たちは今後関心のある問題のほとんどに関して確実な結論に達することができるでしょう。そして、正確な解決が可能な問題の中には、過去に哲学的対立の伝統的な不確実性のすべてに関与していた問題の多くが見つかるだろう。数の性質、無限の性質、空間、時間、運動の性質、そして数学的推論そのものの性質はすべて、本研究において、数学的確実性を持って証明できると称する答えが与えられる問題であるが、その答えは上記の問題を純粋な論理の問題に還元することにあり、その後の内容では十分に解決されることはない。