2次元共形代数の同値類から生じる代数構造とハミルトニアン

2次元共形代数の同値類から生じる代数構造とハミルトニアン

リー代数とその普遍包絡代数に基づく超可積系の構成は、過去数十年にわたり広く研究されてきた。しかし、ほとんどの構成は明示的な微分作用素による実現と Marsden–Weinstein 簡約に依存している。本論文では、2次元共形代数 c(2) の部分代数に基づく代数的アプローチを展開する。これにより、共形代数の包絡代数の中心化子を分類し、対応するハミルトニアンとその積分を代数的な形で構成できる。これらの代数的ハミルトニアンの基礎にある対称代数は6次元の二次代数であることがわかる。二次代数構造のベレジン括弧と交換関係は、明示的な実現や表現に依ることなく閉じている。対称代数のカシミール不変量も与える。本手法は、Darboux 空間における超可積系の構成に関する Fordy と Huang の最近の研究に代数的な視点を提供するものである。

超可積系は長年にわたり、古典力学・量子力学、表現論、数理物理学などさまざまな観点から研究されてきた [1–6]。対称代数によるアプローチは、他の手法よりも物理系を効果的に解析できることがわかっている [7–11]。リー代数とその実現・簡約によって、古典力学の文脈で超可積ハミルトニアンが得られることが示された [12–14]。たとえば文献 [15–18] では、球面や擬球面上のさまざまな超可積系が得られている。しかし従来の研究の多くは、明示的な微分作用素の実現、Marsden–Weinstein 簡約、特殊関数との関連に依存していた [19–21]。

ごく最近になって、系の積分がある種のリー代数の包絡代数における多項式代数に近いことに着目すれば、超可積系への完全に代数的なアプローチが確立できることがわかった。この手法は交換子と代数化に基づくスキームを適用して su(3) [22] と gl(3) [23] において成功裏に実装され、sl(n) のカルタン部分代数 [24] やある種の非半単純代数 [25] に関する交換子へも拡張されている。本論文ではこの手続きをさらに一般化し、部分代数に関する交換子の構成、対応する代数的超可積ハミルトニアン、およびその運動積分を提示する。これにより、与えられたリー代数の部分代数と関連する交換子を分類することで超可積系を分類する新しいスキームを提案できる。

近年、共形代数が2次元空間における超可積系の分類に重要な役割を果たすことが認識された [2, 26–28]。Fordy と Huang の研究 [29–31] では、特定の部分代数とそのカシミール演算子・微分実現を用いることで、2次元および3次元の共形平坦空間における超可積系が Darboux 空間の超可積系と関連することが示された。特に、2次元ユークリッド計量の共形対称性を用いて、2次元 Darboux 空間における新しい自由な超可積系が構成された。本論文では、2次元共形代数 c(2) のさまざまなアーベル的・非アーベル的部分代数を考察し、部分代数に対する交換子を明示的に構成することによって可積系・超可積系を分類する新しいスキームを提案する。