I principi della matematica

I principi della matematica

Il presente lavoro ha due obiettivi principali. Una di queste, la prova che tutta la matematica pura ha a che fare esclusivamente con concetti definibili in termini di un numero molto piccolo di concetti logici fondamentali, e che tutte le sue proposizioni sono deducibili da un numero molto piccolo di principi logici fondamentali, è affrontata nelle Parti II-VII di questo volume, e sarà stabilita mediante un ragionamento simbolico rigoroso nel Volume II. L'altro oggetto di questo lavoro, che occupa la Parte I, è la spiegazione dei concetti fondamentali che la matematica accetta come indefinibili.

1. La Matematica Pura è la classe di tutte le proposizioni della forma “p implica q”, dove p e q sono proposizioni contenenti una o più variabili, le stesse nelle due proposizioni, e né p né q contengono costanti eccetto costanti logiche. E le costanti logiche sono tutte nozioni definibili nei termini di quanto segue: implicazione, la relazione di un termine con una classe di cui è membro, la nozione di tale che, la nozione di relazione e altre nozioni che possono essere coinvolte nella nozione generale di proposizioni della forma precedente. Oltre a queste, la matematica utilizza una nozione che non è costitutiva delle proposizioni che considera, vale a dire la nozione di verità.

2. La definizione di matematica pura di cui sopra è, senza dubbio, alquanto insolita. Le sue varie parti, tuttavia, sembrano suscettibili di un'esatta giustificazione, giustificazione che sarà oggetto del presente lavoro fornire. Si dimostrerà che tutto ciò che nel passato è stato considerato matematica pura è incluso nella nostra definizione, e che qualunque altra cosa sia inclusa possiede quei segni con cui la matematica è comunemente, anche se vagamente, distinta dagli altri studi. La definizione pretende di essere non una decisione arbitraria di usare una parola comune in un significato non comune, ma piuttosto un'analisi precisa delle idee che, più o meno inconsciamente, sono implicate nell'uso ordinario del termine. Il nostro metodo sarà quindi analitico, e il nostro problema potrà dirsi filosofico, nel senso che cerchiamo di passare dal complesso al semplice, dalle premesse dimostrabili alle sue indimostrabili. Ma sotto un aspetto non poche delle nostre discussioni differiranno da quelle che di solito si chiamano filosofiche. Potremo, grazie al lavoro dei matematici stessi, arrivare alla certezza riguardo alla maggior parte delle questioni di cui ci occuperemo; e tra quelli capaci di una soluzione esatta troveremo molti dei problemi che, nel passato, sono stati coinvolti in tutta la tradizionale incertezza del conflitto filosofico. La natura del numero, dell'infinito, dello spazio, del tempo e del movimento, e della stessa inferenza matematica, sono tutte questioni alle quali, nel presente lavoro, verrà data una risposta che si professa dimostrabile con certezza matematica; risposta che, però, consiste nel ridurre i problemi di cui sopra a problemi di logica pura, i quali ultimi non si troveranno risolti in modo soddisfacente in quanto segue.