Strutture algebriche e Hamiltoniane dalle classi di equivalenza di algebre conformi 2D

Strutture algebriche e Hamiltoniane dalle classi di equivalenza di algebre conformi 2D

La costruzione di sistemi superintegrabili basati sulle algebre di Lie e sulle loro algebre di inviluppo universali è stata ampiamente studiata negli ultimi decenni. Tuttavia, la maggior parte delle costruzioni si basa su realizzazioni esplicite di operatori differenziali e riduzioni di Marsden-Weinstein. In questo articolo sviluppiamo un approccio algebrico basato sulle sottoalgebre dell'algebra conforme 2D c(2). Ciò permette di classificare i centralizzatori dell'algebra inviluppante dell'algebra conforme e costruire le corrispondenti Hamiltoniane con integrali in forma algebrica. Si trova che le algebre di simmetria alla base di queste hamiltoniane algebriche sono algebre quadratiche a sei dimensioni. Le parentesi di Berezin e le relazioni di commutazione delle strutture algebriche quadratiche sono chiuse senza fare affidamento su realizzazioni o rappresentazioni esplicite. Forniamo anche gli invarianti di Casimir delle algebre di simmetria. Il nostro approccio fornisce prospettive algebriche per il recente lavoro di Fordy e Huang sulla costruzione di sistemi superintegrabili negli spazi di Darboux.

I sistemi superintegrabili sono stati studiati da diverse prospettive nel corso degli anni, comprendendo approcci provenienti dalla meccanica classica e quantistica, dalla teoria delle rappresentazioni e dalla fisica matematica [1–6]. È stato scoperto che gli approcci dell'algebra di simmetria possono essere utilizzati per analizzare i sistemi fisici in modo più efficace rispetto ad altri approcci [7–11]. È stato mostrato come le algebre di Lie, le loro realizzazioni e riduzioni permettano di ottenere Hamiltoniane superintegrabili nel contesto della meccanica classica [12–14]. Ad esempio, in [15–18] sono stati ottenuti vari sistemi superintegrabili su sfere e pseudo-sfere. Tuttavia, la maggior parte degli studi precedenti si basano sull'uso di realizzazioni esplicite di operatori differenziali, sulle riduzioni di Marsden-Weinstein e sulle connessioni con funzioni speciali [19–21].

Solo molto recentemente si è scoperto che è possibile stabilire un approccio interamente algebrico ai sistemi superintegrabili realizzando che gli integrali dei sistemi sono tanto vicini alle algebre polinomiali nelle algebre inviluppanti di certe algebre di Lie. L'approccio è stato implementato con successo per su(3) [22] e gl(3) [23] applicando uno schema basato su commutanti e algebrizzazioni. È esteso anche ai commutanti riguardanti le sottoalgebre Cartan di sl(n) [24] e certe algebre non semisemplici [25]. In questo articolo generalizziamo ulteriormente la procedura e presentiamo la costruzione di commutanti riguardanti le sottoalgebre, le corrispondenti Hamiltoniane algebriche superintegrabili e i loro integrali di movimento. Ciò ci consente di proporre un nuovo schema per classificare i sistemi superintegrabili classificando le sottoalgebre e i relativi commutanti di una data algebra di Lie.

Recentemente si è capito che le algebre conformi svolgono un ruolo importante nella classificazione dei sistemi superintegrabili in spazi bidimensionali [2, 26–28]. Nel lavoro di Fordy e Huang [29–31], attraverso l'uso di sottoalgebre specifiche, i loro operatori Casimir e realizzazioni differenziali, è stato dimostrato che i sistemi superintegrabili in spazi conformalmente piatti 2D e 3D sono correlati a sistemi superintegrabili negli spazi Darboux. In particolare, le simmetrie conformi della metrica euclidea 2D sono state applicate per costruire nuovi sistemi superintegrabili liberi negli spazi Darboux 2D. In questo articolo esamineremo varie sottoalgebre abeliane e non abeliane dell'algebra conforme 2D c(2) e proporremo un nuovo schema per classificare sistemi integrabili e superintegrabili attraverso la costruzione esplicita di commutanti relativi alle sottoalgebre.