A matematika alapelvei

A matematika alapelvei

Jelen munkának két fő célja van. Ezek közül az egyik, annak bizonyítása, hogy minden tiszta matematika kizárólag olyan fogalmakkal foglalkozik, amelyek nagyon kevés logikai alapfogalom alapján definiálhatók, és hogy minden tétele nagyon kevés alapvető logikai elvből levezethető, e kötet II–VII. részében szerepel, és szigorú szimbolikus érveléssel a II. Ennek a munkának a másik célja, amely az I. részt foglalja el, azoknak az alapfogalmaknak a magyarázata, amelyeket a matematika meghatározhatatlannak fogad el.

1. A tiszta matematika a „p q-re utaló” alakú állítások osztálya, ahol p és q olyan állítások, amelyek egy vagy több változót tartalmaznak, a két állításban ugyanaz, és sem p, sem q nem tartalmaz konstansokat, kivéve a logikai állandókat. A logikai állandók pedig mind olyan fogalmak, amelyek a következők szerint definiálhatók: implikáció, egy kifejezés viszonya egy osztályhoz, amelynek tagja, az olyan, hogy fogalma, a reláció fogalma és olyan további fogalmak, amelyek a fenti formájú állítások általános fogalmába beletartoznak. Ezeken kívül a matematika olyan fogalmat használ, amely nem képezi az általa vizsgált állításokat, nevezetesen az igazság fogalmát.

2. A tiszta matematika fenti meghatározása kétségtelenül kissé szokatlan. Különböző részei mindazonáltal pontos igazolásra alkalmasnak tűnnek – ez az indoklás, amelyet jelen munka tárgya lesz. Meg fogjuk mutatni, hogy bármit, amit a múltban tiszta matematikának tekintettek, beletartozik definíciónkba, és bármi más is benne van, rendelkezik olyan jegyekkel, amelyekkel a matematikát általában, bár homályosan megkülönböztetik más tanulmányoktól. A definíció nem egy önkényes döntés egy általános szó szokatlan jelentésben való használatára vonatkozóan, hanem sokkal inkább azoknak a gondolatoknak a pontos elemzése, amelyek többé-kevésbé öntudatlanul benne vannak a kifejezés szokásos használatában. Módszerünk tehát az elemzés módszere lesz, problémánkat pedig nevezhetjük filozófiainak is – abban az értelemben, hogy a bonyolulttól az egyszerű felé, a kimutathatótól a kimutathatatlan előfeltevésig igyekszünk áttérni. De bizonyos szempontból nem kevés vitánk különbözik azoktól, amelyeket filozófiainak szoktak nevezni. Maguk a matematikusok munkájának köszönhetően képesek leszünk bizonyosságra jutni a legtöbb kérdést illetően, amelyekkel foglalkozni fogunk; és azok között, akik képesek a pontos megoldásra, sok olyan problémát találunk, amelyek a múltban a filozófiai viszályok hagyományos bizonytalanságában szerepet játszottak. A szám, a végtelen, a tér, az idő és a mozgás természete, valamint maga a matematikai következtetés mind olyan kérdés, amelyre jelen műben matematikai biztonsággal kimutatható választ adunk – amely válasz azonban abban áll, hogy a fenti problémákat a tiszta logikai problémákra redukáljuk, amelyekre a későbbiekben nem találunk kielégítő megoldást.