עקרונות המתמטיקה

עקרונות המתמטיקה

לעבודה הנוכחית שני מטרות עיקריות. אחת מהן, ההוכחה שכל המתמטיקה הטהורה עוסקת אך ורק במושגים הניתנים להגדרה במונחים של מספר קטן מאוד של מושגים לוגיים יסודיים, ושכל הטענות שלה ניתנות להסיק ממספר קטן מאוד של עקרונות לוגיים יסודיים, מבוצעת בחלקים II-VII של כרך זה, ותיקבע על ידי נימוק סימבולי קפדני בכרך ב'. המטרה האחרת של עבודה זו, העוסקת בחלק א', היא ההסבר של מושגי היסוד שהמתמטיקה מקבלת כבלתי ניתנים להגדרה.

1. מתמטיקה טהורה היא המחלקה של כל הטענות בצורת "p מרמזת על q", כאשר p ו-q הן הצעות המכילות משתנה אחד או יותר, זהה בשתי הטענות, ולא p ולא q מכילים קבועים כלשהם מלבד קבועים לוגיים. וקבועים לוגיים הם כל המושגים הניתנים להגדרה במונחים הבאים: השלכה, היחס של מונח למחלקה שהוא חבר בה, המושג כזה, מושג היחס, ומושגים נוספים שעשויים להיות מעורבים ברעיון הכללי של הצעות מהצורה הנ"ל. בנוסף לאלה, המתמטיקה משתמשת ברעיון שאינו מרכיב מהטענות שהיא מחשיבה, כלומר ברעיון האמת.

2. ההגדרה שלעיל למתמטיקה טהורה היא, ללא ספק, יוצאת דופן במקצת. חלקיו השונים, בכל זאת, נראים כבעלי הצדקה מדויקת - הצדקה שתהיה מושא העבודה הנוכחית לספק. יוכח שכל מה שנחשב בעבר כמתמטיקה טהורה, נכלל בהגדרה שלנו, ושכל דבר אחר שנכלל הוא בעל אותם סימנים שבאמצעותם מתמטיקה נהוגה להבחין באופן מעורפל ממחקרים אחרים. ההגדרה מתיימרת להיות, לא החלטה שרירותית להשתמש במילה נפוצה במשמעות לא שכיחה, אלא ניתוח מדויק של הרעיונות אשר, פחות או יותר באופן לא מודע, משתמעים בשימוש הרגיל של המונח. לפיכך, השיטה שלנו תהיה של ניתוח, וניתן לכנות את הבעיה שלנו פילוסופית - במובן, כלומר, שאנו מבקשים לעבור מהמורכב לפשוט, מהנחות הדעת להדגמה להנחות היסוד שלו. אבל מבחינה אחת לא מעט מהדיונים שלנו יהיו שונים מאלה שנקראים בדרך כלל פילוסופיים. נוכל, הודות לעמלם של המתמטיקאים עצמם, להגיע לוודאות לגבי רוב השאלות שבהן נעסוק; ובין אלו המסוגלים לפתרון מדויק נמצא רבות מהבעיות שבעבר היו מעורבות בכל אי הוודאות המסורתית של סכסוכים פילוסופיים. טבעם של מספר, של אינסוף, של מרחב, זמן ותנועה ושל היסק מתמטי עצמו, כולן שאלות שבעבודה הנוכחית תינתן להן תשובה המתיימרת שניתן להוכיח את עצמה בוודאות מתמטית - תשובה אשר, עם זאת, מורכבת מהפחתת הבעיות הנ"ל לבעיות בלוגיקה טהורה, שאחרונה לא תמצא פתרון משביע רצון בהמשך.