מבנים אלגבריים ומילטון משיעורי השקילות של אלגברות קונפורמיות דו-ממדיות

מבנים אלגבריים ומילטון משיעורי השקילות של אלגברות קונפורמיות דו-ממדיות

בניית מערכות סופר אינטגרליות המבוססות על אלגברות Lie והאלגברות העוטפות האוניברסליות שלהן נחקרה רבות בעשורים האחרונים. עם זאת, רוב המבנים מסתמכים על מימושים מפורשים של אופרטורים והפחתות של מרסדן-ויינשטיין. במאמר זה, אנו מפתחים גישה אלגברית המבוססת על תת-אלגברות של האלגברה הקונפורמית הדו-ממדית c(2). זה מאפשר לנו לסווג את הרכזים של האלגברה העוטפת של האלגברה הקונפורמית ולבנות את המילטון התואמים עם אינטגרלים בצורה אלגברית. נמצא כי אלגברות הסימטריה העומדות בבסיס המילטון האלגבריים הללו הן אלגברות ריבועיות שש-ממדיות. סוגריים של ברזין ויחסי הקומוטציה של המבנים האלגבריים הריבועיים סגורים מבלי להסתמך על מימושים או ייצוגים מפורשים. אנו נותנים גם את האינווריאנטים של קזימיר של אלגברות הסימטריה. הגישה שלנו מספקת נקודות מבט אלגבריות לעבודה האחרונה של פורדי והואנג על בניית מערכות סופר אינטגרליות במרחבי דארבו.

מערכות סופר אינטגרליות נחקרו מנקודות מבט שונות לאורך השנים, וכוללות גישות ממכניקה קלאסית ומכניקה קוונטית, תורת הייצוג ופיזיקה מתמטית [1-6]. נמצא שניתן להשתמש בגישות אלגברה סימטריות כדי לנתח מערכות פיזיקליות בצורה יעילה יותר מאשר גישות אחרות [7-11]. הוכח כיצד אלגברות שקר, המימושים וההפחתות שלהן מאפשרים להשיג המילטון סופר אינטגרלי בהקשר של מכניקה קלאסית [12-14]. לדוגמה, ב-[15-18] הושגו מערכות שונות הניתנות לאינטגרציה על כדורים ופסאודו-ספירות. עם זאת, רוב המחקרים הקודמים מסתמכים על שימוש במימושים מפורשים של אופרטורים דיפרנציאליים, הפחתות מרסדן-ויינשטיין וקשרים עם פונקציות מיוחדות [19-21].

רק לאחרונה נמצא שניתן לבסס גישה אלגברית לחלוטין למערכות סופר אינטגרליות על ידי ההבנה שהאינטגרלים של המערכות קרובים לאלגברות פולינומיות באלגברות העוטפות של אלגברות שקר מסוימות. הגישה יושמה בהצלחה עבור su(3) [22] ו-gl(3) [23] על ידי יישום סכמה המבוססת על קומוטנטים ואלגבריזציות. הוא מורחב גם לקומוטנטים לגבי תת-אלגברות קרטניות של sl(n) [24] ואלגברות מסוימות שאינן פשוטות למחצה [25]. במאמר זה, אנו מכלילים את ההליך עוד יותר ומציגים את הבנייה של קומוטנטים הנוגעים לסאב-אלגברות, המילטון האלגבריים הניתנים לאינטגרציה-על המקבילים, ואת אינטגרלי התנועה שלהם. זה מאפשר לנו להציע סכמה חדשה לסיווג מערכות סופר אינטגרליות על ידי סיווג תת-אלגברות וקומוטנטים קשורים של אלגברת שקר נתונה.

לאחרונה התברר כי אלגברות קונפורמיות ממלאות תפקיד חשוב בסיווג מערכות סופר אינטגרליות במרחבים דו מימדיים [2, 26-28]. בעבודתם של פורדי והואנג [29–31], באמצעות שימוש בתת-אלגבראות ספציפיות, באופרטורים הקזימירים שלהן ומימושים דיפרנציאליים, הוכח שמערכות סופר-אינטגרליות במרחבים שטוחים דו-ממדיים ותלת-ממדיים קשורים למערכות הניתנות לאינטגרציה במרחבי דארבוק. בפרט, הסימטריות הקונפורמיות של המטריה האוקלידית הדו-ממדית יושמו כדי לבנות מערכות חדשות חופשיות ניתנות לשילוב במרחבי דארבוק הדו-ממדיים. במאמר זה, נבחן תת-אלגברות אבליות ולא-אבליות שונות של האלגברה הקונפורמית הדו-ממדית c(2) ונציע סכמה חדשה לסיווג מערכות אינטגרליות וסופר אינטגרליות באמצעות בנייה מפורשת של קומוטנטים ביחס לתת-אלגברות.