Une introduction au thêta-calcul

Une introduction au thêta-calcul

Le thêta-calcul est un calcul mathématique destiné à la description des processus séquentiels, des contrats financiers et des stratégies multipériodes en théorie des jeux. Ce calcul permet la notation explicite de toutes les stratégies de négociation et de tous les produits financiers qui ne peuvent actuellement pas être écrits sous une forme mathématique explicite. Toutes sortes de contrats, de stratégies et de jeux multipériodes peuvent alors être saisis, quant à leurs implications quantitatives, par un vocabulaire de trois effets de base : attendre, transiger et décider. Chaque activité élémentaire est représentée par un opérateur, qui peut s'interpréter dans une séquence d'opérateurs comme une liste d'événements chronologiquement ordonnés, et le terme d'opérateurs constitue aussi une formule explicite d'évaluation du résultat final de la stratégie considérée. Le thêta-calcul est particulièrement utile pour la notation des produits financiers, dont beaucoup ne peuvent actuellement pas être représentés explicitement.

La finance quantitative est l'un des domaines scientifiques traitant des processus les plus activement étudiés. On retrouve en finance de nombreux aspects des processus stochastiques et déterministes ainsi que des théories de la décision et des jeux. Malgré un vaste arrière-plan de théorie et de concepts mathématiques, le calcul financier usuel est incapable de formaliser l'un des aspects les plus fondamentaux de la négociation et de l'analyse de marché : il manque au calcul financier une notation mathématique explicite pour les activités humaines de négociation et pour de nombreux produits financiers. À commencer par l'option américaine, tout ce qui requiert des décisions ou des optimisations intertemporelles non triviales ne peut être représenté sous une forme raisonnable dont l'évaluation du produit puisse être déduite algébriquement.

Les types de contrats élaborés et les objectifs d'investissement ne sont généralement spécifiés que sous forme de prose et emploient souvent une terminologie difficile à interpréter pour un non-initié. De telles représentations sont malaisées à évaluer mathématiquement et doivent être traduites individuellement en formules et en code informatique. Ceux qui se sentent enclins à rechercher une plus grande généralité se heurtent le plus souvent à une inflation de paramètres et de concepts mathématiques.

Pour répondre à la demande de l'industrie d'une représentation technique des portefeuilles, des dialectes de programmation existants ont été étendus. Les résultats les plus notables sont MLFi, fondé sur le langage de programmation fonctionnelle Caml, et la norme XML FpML. Toutefois, ni l'un ni l'autre ne fournit de cadre mathématique pour la dérivation de propriétés théoriques : leur vocabulaire est immense et encore en extension, et la distance est grande entre la représentation du produit et la procédure d'évaluation, ce qui fait craindre ambiguïté et incohérence du modèle.