Les principes des mathématiques

Les principes des mathématiques

Le présent travail a deux objectifs principaux. L’une d’elles, la preuve que toutes les mathématiques pures traitent exclusivement de concepts définissables en termes d’un très petit nombre de concepts logiques fondamentaux, et que toutes leurs propositions sont déductibles d’un très petit nombre de principes logiques fondamentaux, est entreprise dans les parties II à VII de ce volume, et sera établie par un raisonnement symbolique strict dans le volume II. L'autre objet de ce travail, qui occupe la première partie, est l'explication des concepts fondamentaux que les mathématiques acceptent comme indéfinissables.

1. Les mathématiques pures sont la classe de toutes les propositions de la forme « p implique q », où p et q sont des propositions contenant une ou plusieurs variables, les mêmes dans les deux propositions, et ni p ni q ne contiennent de constantes à l'exception des constantes logiques. Et les constantes logiques sont toutes des notions définissables en termes de ce qui suit : l'implication, la relation d'un terme à une classe dont il est membre, la notion de tel que, la notion de relation, et toutes autres notions qui peuvent être impliquées dans la notion générale de propositions de la forme ci-dessus. A cela s'ajoute que les mathématiques utilisent une notion qui n'est pas constitutive des propositions qu'elles considèrent, à savoir la notion de vérité.

2. La définition ci-dessus des mathématiques pures est sans aucun doute quelque peu inhabituelle. Ses différentes parties semblent néanmoins susceptibles d’une justification exacte – justification que le présent ouvrage aura pour objet de fournir. Nous montrerons que tout ce qui, dans le passé, a été considéré comme des mathématiques pures est inclus dans notre définition, et que tout le reste possède les caractéristiques par lesquelles les mathématiques se distinguent généralement, bien que vaguement, des autres études. La définition prétend être non pas une décision arbitraire d'utiliser un mot commun dans une signification peu commune, mais plutôt une analyse précise des idées qui, plus ou moins inconsciemment, sont impliquées dans l'emploi ordinaire du terme. Notre méthode sera donc une méthode d'analyse, et notre problème pourra être qualifié de philosophique, c'est-à-dire que nous cherchons à passer du complexe au simple, du démontrable à ses prémisses indémontrables. Mais sur un point, bon nombre de nos discussions diffèrent de celles que l’on appelle habituellement philosophiques. Nous pourrons, grâce aux travaux des mathématiciens eux-mêmes, arriver à la certitude sur la plupart des questions qui nous occuperont ; et parmi ceux qui sont capables d'une solution exacte, nous trouverons nombre de problèmes qui, dans le passé, ont été impliqués dans toute l'incertitude traditionnelle des conflits philosophiques. La nature du nombre, de l'infini, de l'espace, du temps et du mouvement, ainsi que l'inférence mathématique elle-même, sont autant de questions auxquelles, dans le présent ouvrage, sera donnée une réponse se déclarant démontrable avec une certitude mathématique - une réponse qui consiste cependant à réduire les problèmes ci-dessus à des problèmes de logique pure, dont ces derniers ne seront pas trouvés résolus de manière satisfaisante dans ce qui suit.