Structures algébriques et hamiltoniens issus des classes d'équivalence des algèbres conformes 2D

Structures algébriques et hamiltoniens issus des classes d'équivalence des algèbres conformes 2D

La construction de systèmes superintégrables fondée sur les algèbres de Lie et leurs algèbres enveloppantes universelles a été largement étudiée au cours des dernières décennies. Toutefois, la plupart des constructions reposent sur des réalisations explicites par opérateurs différentiels et sur les réductions de Marsden–Weinstein. Dans cet article, nous développons une approche algébrique fondée sur les sous-algèbres de l'algèbre conforme 2D c(2). Cela nous permet de classifier les centralisateurs de l'algèbre enveloppante de l'algèbre conforme et de construire les hamiltoniens correspondants avec des intégrales sous forme algébrique. Il apparaît que les algèbres de symétrie sous-jacentes à ces hamiltoniens algébriques sont des algèbres quadratiques de dimension six. Les crochets de Berezin et les relations de commutation des structures algébriques quadratiques se ferment sans recourir à des réalisations ou représentations explicites. Nous donnons également les invariants de Casimir des algèbres de symétrie. Notre approche offre des perspectives algébriques sur les travaux récents de Fordy et Huang concernant la construction de systèmes superintégrables dans les espaces de Darboux.

Les systèmes superintégrables ont été étudiés au fil des ans sous différents angles, relevant de la mécanique classique et quantique, de la théorie des représentations et de la physique mathématique [1–6]. Il s'est avéré que les approches par algèbres de symétrie permettent d'analyser les systèmes physiques plus efficacement que d'autres méthodes [7–11]. Il a été montré comment les algèbres de Lie, leurs réalisations et leurs réductions permettent d'obtenir des hamiltoniens superintégrables dans le cadre de la mécanique classique [12–14]. Par exemple, divers systèmes superintégrables sur des sphères et des pseudo-sphères ont été obtenus dans [15–18]. Cependant, la plupart des études antérieures reposent sur des réalisations explicites par opérateurs différentiels, les réductions de Marsden–Weinstein et des liens avec les fonctions spéciales [19–21].

Ce n'est que très récemment qu'il a été découvert qu'une approche entièrement algébrique des systèmes superintégrables peut être établie en réalisant que les intégrales des systèmes s'apparentent étroitement à des algèbres polynomiales dans les algèbres enveloppantes de certaines algèbres de Lie. L'approche a été mise en œuvre avec succès pour su(3) [22] et gl(3) [23] en appliquant un schéma fondé sur les commutants et les algébrisations. Elle a également été étendue aux commutants relatifs aux sous-algèbres de Cartan de sl(n) [24] et à certaines algèbres non semi-simples [25]. Dans cet article, nous généralisons davantage la procédure et présentons la construction des commutants relatifs aux sous-algèbres, les hamiltoniens superintégrables algébriques correspondants et leurs intégrales du mouvement. Cela nous permet de proposer un nouveau schéma de classification des systèmes superintégrables par la classification des sous-algèbres et des commutants associés d'une algèbre de Lie donnée.

Il a récemment été reconnu que les algèbres conformes jouent un rôle important dans la classification des systèmes superintégrables en dimension 2 [2, 26–28]. Dans les travaux de Fordy et Huang [29–31], grâce à l'utilisation de sous-algèbres spécifiques, de leurs opérateurs de Casimir et de réalisations différentielles, il a été montré que les systèmes superintégrables dans les espaces conformément plats 2D et 3D sont liés aux systèmes superintégrables dans les espaces de Darboux. En particulier, les symétries conformes de la métrique euclidienne 2D ont été appliquées pour construire de nouveaux systèmes superintégrables libres dans les espaces de Darboux 2D. Dans cet article, nous examinerons diverses sous-algèbres abéliennes et non abéliennes de l'algèbre conforme 2D c(2) et proposerons un nouveau schéma de classification des systèmes intégrables et superintégrables par la construction explicite de commutants relatifs aux sous-algèbres.