Οι Αρχές των Μαθηματικών

Οι Αρχές των Μαθηματικών

Η παρούσα εργασία έχει δύο βασικά αντικείμενα. Μία από αυτές, η απόδειξη ότι όλα τα καθαρά μαθηματικά ασχολούνται αποκλειστικά με έννοιες που μπορούν να οριστούν με όρους πολύ μικρού αριθμού θεμελιωδών λογικών εννοιών και ότι όλες οι προτάσεις τους συνάγονται από έναν πολύ μικρό αριθμό θεμελιωδών λογικών αρχών, γίνεται στα Μέρη ΙΙ-VII αυτού του τόμου και θα καθιερωθεί με αυστηρή συμβολική συλλογιστική στον τόμο II. Το άλλο αντικείμενο αυτής της εργασίας, που καταλαμβάνει το Μέρος Ι, είναι η εξήγηση των θεμελιωδών εννοιών που τα μαθηματικά αποδέχονται ως απροσδιόριστες.

1. Τα Καθαρά Μαθηματικά είναι η κλάση όλων των προτάσεων της μορφής «p υποδηλώνει q», όπου το p και το q είναι προτάσεις που περιέχουν μία ή περισσότερες μεταβλητές, ίδιες στις δύο προτάσεις, και ούτε το p ούτε το q περιέχουν σταθερές εκτός από λογικές σταθερές. Και οι λογικές σταθερές είναι όλες έννοιες που μπορούν να οριστούν με βάση τα εξής: Έννοια, η σχέση ενός όρου με μια κλάση της οποίας είναι μέλος, η έννοια του τέτοιου, η έννοια της σχέσης και άλλες έννοιες που μπορεί να εμπλέκονται στη γενική έννοια των προτάσεων της παραπάνω μορφής. Εκτός από αυτά, τα μαθηματικά χρησιμοποιούν μια έννοια που δεν αποτελεί συστατικό των προτάσεων που θεωρεί, δηλαδή την έννοια της αλήθειας.

2. Ο παραπάνω ορισμός των καθαρών μαθηματικών είναι, αναμφίβολα, κάπως ασυνήθιστος. Ωστόσο, τα διάφορα μέρη του φαίνονται ικανά για ακριβή αιτιολόγηση - μια αιτιολόγηση που θα είναι το αντικείμενο της παρούσας εργασίας να παράσχει. Θα αποδειχτεί ότι ό,τι έχει θεωρηθεί, στο παρελθόν, ως καθαρά μαθηματικά, περιλαμβάνεται στον ορισμό μας, και ότι οτιδήποτε άλλο περιλαμβάνεται έχει εκείνα τα χαρακτηριστικά με τα οποία τα μαθηματικά διακρίνονται συνήθως αν και αόριστα από άλλες μελέτες. Ο ορισμός δηλώνει ότι δεν είναι μια αυθαίρετη απόφαση να χρησιμοποιηθεί μια κοινή λέξη με μια ασυνήθιστη σημασία, αλλά μάλλον μια ακριβής ανάλυση των ιδεών που, λίγο πολύ ασυνείδητα, υπονοούνται στη συνήθη χρήση του όρου. Επομένως, η μέθοδός μας θα είναι ανάλυση, και το πρόβλημά μας μπορεί να ονομαστεί φιλοσοφικό – με την έννοια, δηλαδή, ότι επιδιώκουμε να περάσουμε από το σύνθετο στο απλό, από το αποδεδειγμένο στις απερίγραπτες προϋποθέσεις του. Αλλά από μια άποψη, δεν είναι λίγες οι συζητήσεις μας που θα διαφέρουν από αυτές που συνήθως ονομάζονται φιλοσοφικές. Θα μπορέσουμε, χάρη στον κόπο των ίδιων των μαθηματικών, να καταλήξουμε σε βεβαιότητα σχετικά με τα περισσότερα από τα ερωτήματα που θα μας απασχολήσουν. Και μεταξύ εκείνων που μπορούν να βρουν μια ακριβή λύση θα βρούμε πολλά από τα προβλήματα που, στο παρελθόν, είχαν εμπλακεί σε όλη την παραδοσιακή αβεβαιότητα της φιλοσοφικής διαμάχης. Η φύση του αριθμού, του απείρου, του χώρου, του χρόνου και της κίνησης, και του ίδιου του μαθηματικού συμπεράσματος, είναι όλα ερωτήματα στα οποία, στην παρούσα εργασία, θα δοθεί μια απάντηση που δηλώνει ότι αποδεικνύεται με μαθηματική βεβαιότητα - μια απάντηση η οποία, ωστόσο, συνίσταται στη μείωση των παραπάνω προβλημάτων σε προβλήματα καθαρής λογικής, τα οποία δεν θα βρεθούν ικανοποιητικά λυμένα σε αυτό που ακολουθεί.