Αλγεβρικές δομές και Hamiltonians από τις τάξεις ισοδυναμίας των 2D Conformal Algebras

Αλγεβρικές δομές και Hamiltonians από τις τάξεις ισοδυναμίας των 2D Conformal Algebras

Η κατασκευή υπερολοκληρώσιμων συστημάτων που βασίζονται στις άλγεβρες Lie και τις καθολικές άλγεβρες περιβάλλουσας τους έχει μελετηθεί ευρέως τις τελευταίες δεκαετίες. Ωστόσο, οι περισσότερες κατασκευές βασίζονται σε ρητές διαφορικές πραγματοποιήσεις τελεστών και σε μειώσεις Marsden–Weinstein. Σε αυτό το άρθρο, αναπτύσσουμε μια αλγεβρική προσέγγιση που βασίζεται στις υποάλγεβρες της δισδιάστατης σύμμορφης άλγεβρας c(2). Αυτό μας επιτρέπει να ταξινομήσουμε τους συγκεντρωτές της περιβάλλουσας άλγεβρας της σύμμορφης άλγεβρας και να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα Hamiltonians με ολοκληρώματα σε αλγεβρική μορφή. Βρέθηκε ότι οι άλγεβρες συμμετρίας που βρίσκονται κάτω από αυτές τις αλγεβρικές Hamiltonians είναι εξαδιάστατες τετραγωνικές άλγεβρες. Οι αγκύλες Berezin και οι σχέσεις μετάθεσης των τετραγωνικών αλγεβρικών δομών είναι κλειστές χωρίς να βασίζονται σε σαφείς πραγματοποιήσεις ή αναπαραστάσεις. Δίνουμε επίσης τις αναλλοίωτες Casimir των άλγεβρων συμμετρίας. Η προσέγγισή μας παρέχει αλγεβρικές προοπτικές για την πρόσφατη εργασία των Fordy και Huang σχετικά με την κατασκευή υπερολοκληρώσιμων συστημάτων στους χώρους Darboux.

Τα υπερολοκληρώσιμα συστήματα έχουν μελετηθεί από διαφορετικές οπτικές γωνίες όλα αυτά τα χρόνια, περιλαμβάνοντας προσεγγίσεις από την κλασική και κβαντική μηχανική, τη θεωρία αναπαράστασης και τη μαθηματική φυσική [1-6]. Έχει βρεθεί ότι οι προσεγγίσεις της άλγεβρας συμμετρίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση φυσικών συστημάτων πιο αποτελεσματικά από άλλες προσεγγίσεις [7-11]. Φάνηκε πώς οι άλγεβρες Lie, οι πραγματοποιήσεις και οι αναγωγές τους επιτρέπουν σε κάποιον να αποκτήσει υπερολοκληρώσιμα Hamiltonians στο πλαίσιο της κλασικής μηχανικής [12-14]. Για παράδειγμα, στο [15-18] έχουν ληφθεί διάφορα υπερολοκληρώσιμα συστήματα σε σφαίρες και ψευδοσφαίρες. Ωστόσο, οι περισσότερες από τις προηγούμενες μελέτες βασίζονται στη χρήση ρητών διαφορικών πραγματοποιήσεων τελεστών, στις αναγωγές Marsden-Weinstein και στις συνδέσεις με ειδικές συναρτήσεις [19-21].

Μόλις πολύ πρόσφατα διαπιστώθηκε ότι μια εξ ολοκλήρου αλγεβρική προσέγγιση σε υπερολοκληρώσιμα συστήματα μπορεί να καθιερωθεί συνειδητοποιώντας ότι τα ολοκληρώματα των συστημάτων είναι τόσο κοντά στις πολυωνυμικές άλγεβρες στις περιβάλλουσες άλγεβρες ορισμένων αλγεβρών Lie. Η προσέγγιση εφαρμόστηκε με επιτυχία για τα su(3) [22] και gl(3) [23] εφαρμόζοντας ένα σχήμα που βασίζεται σε commutants και αλγεβροποιήσεις. Επεκτείνεται επίσης σε μεταβιβαστές σχετικά με τις υποάλγεβρες Cartan του sl(n) [24] και ορισμένες μη ημι-απλές άλγεβρες [25]. Σε αυτή την εργασία, γενικεύουμε τη διαδικασία περαιτέρω και παρουσιάζουμε την κατασκευή των εναλλασσόμενων που αφορούν τις υποάλγεβρες, τα αντίστοιχα αλγεβρικά υπερολοκληρώσιμα Χαμιλτονιανά και τα ολοκληρώματα κίνησης τους. Αυτό μας επιτρέπει να προτείνουμε ένα νέο σχήμα για την ταξινόμηση υπερολοκληρώσιμων συστημάτων ταξινομώντας τις υποάλγεβρες και τους σχετικούς εναλλάκτες μιας δεδομένης άλγεβρας Lie.

Πρόσφατα έγινε αντιληπτό ότι οι σύμμορφες άλγεβρες παίζουν σημαντικό ρόλο στην ταξινόμηση υπερολοκληρώσιμων συστημάτων σε δισδιάστατους χώρους [2, 26-28]. Στην εργασία των Fordy και Huang [29-31], μέσω της χρήσης συγκεκριμένων υποάλγεβρων, των τελεστών Casimir και των διαφορικών πραγματοποιήσεων, φάνηκε ότι τα υπερολοκληρώσιμα συστήματα σε 2D και 3D, σύμφωνα με επίπεδους χώρους σχετίζονται με υπερολοκληρώσιμα συστήματα σε χώρους Darboux. Συγκεκριμένα, οι σύμμορφες συμμετρίες της 2Δ Ευκλείδειας μέτρησης εφαρμόστηκαν για την κατασκευή νέων ελεύθερων υπερολοκληρώσιμων συστημάτων στους 2D χώρους Darboux. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε διάφορες Αβελιανές και μη Αβελιανές υποάλγεβρες της δισδιάστατης σύμμορφης άλγεβρας c(2) και θα προτείνουμε ένα νέο σχήμα για την ταξινόμηση των ολοκληρωμένων και υπερολοκληρώσιμων συστημάτων μέσω της ρητής κατασκευής μεταθετών σε σχέση με τις υποάλγεβρες.