Matematikkens principper

Matematikkens principper

Nærværende værk har to hovedformål. Et af disse, beviset på, at al ren matematik udelukkende beskæftiger sig med begreber, der kan defineres i form af et meget lille antal grundlæggende logiske begreber, og at alle dens påstande kan udledes fra et meget lille antal grundlæggende logiske principper, er udført i del II-VII af dette bind, og vil blive etableret ved strenge symbolske ræsonnementer i bind II. Det andet formål med dette arbejde, som optager del I, er forklaringen af ​​de grundlæggende begreber, som matematik accepterer som udefinerbare.

1. Ren matematik er klassen af ​​alle påstande i formen "p implicerer q", hvor p og q er påstande, der indeholder en eller flere variable, de samme i de to påstande, og hverken p eller q indeholder nogen konstanter undtagen logiske konstanter. Og logiske konstanter er alle begreber, der kan defineres ud fra følgende: Implikation, forholdet mellem et led og en klasse, som det er medlem af, begrebet sådan, begrebet relation, og sådanne yderligere begreber, som kan være involveret i den generelle begreb om propositioner af ovenstående form. Ud over disse bruger matematikken en forestilling, som ikke er en bestanddel af de påstande, som den betragter, nemlig begrebet sandhed.

2. Ovenstående definition af ren matematik er uden tvivl noget usædvanlig. Dens forskellige dele ser ikke desto mindre ud til at være i stand til nøjagtig retfærdiggørelse - en begrundelse, som det vil være formålet med nærværende værk at give. Det vil blive vist, at alt, der tidligere er blevet betragtet som ren matematik, er inkluderet i vores definition, og at alt, hvad der ellers er inkluderet, besidder de karakterer, hvorved matematik almindeligvis er vagt adskilt fra andre undersøgelser. Definitionen hævder ikke at være en vilkårlig beslutning om at bruge et almindeligt ord i en ualmindelig betydning, men snarere en præcis analyse af de ideer, som mere eller mindre ubevidst er impliceret i den almindelige anvendelse af begrebet. Vores metode vil derfor være en analyse, og vores problem kan kaldes filosofisk - i den forstand, det vil sige, at vi søger at gå fra det komplekse til det enkle, fra det påviselige til dets upåviselige præmisser. Men i én henseende vil ikke få af vores diskussioner adskille sig fra dem, der normalt kaldes filosofiske. Vi vil være i stand til, takket være matematikernes arbejde selv, at nå frem til vished med hensyn til de fleste af de spørgsmål, som vi skal beskæftige os med; og blandt dem, der er i stand til en nøjagtig løsning, vil vi finde mange af de problemer, som tidligere har været involveret i al den traditionelle usikkerhed i filosofiske stridigheder. Antallet, uendelighedens, rummets, tidens og bevægelsens natur og selve den matematiske inferens er alle spørgsmål, som der i dette værk vil blive givet et svar, der giver sig ud for at kunne påvises med matematisk sikkerhed - et svar, der imidlertid består i at reducere ovenstående problemer til problemer i ren logik, som sidst ikke vil blive fundet tilfredsstillende løst i det følgende.