Algebraiske strukturer og Hamiltonianere fra ækvivalensklasserne for 2D konforme algebraer

Algebraiske strukturer og Hamiltonianere fra ækvivalensklasserne for 2D konforme algebraer

Konstruktionen af ​​superintegrerbare systemer baseret på Lie-algebraer og deres universelle omsluttende algebraer er blevet undersøgt bredt i de sidste årtier. Imidlertid er de fleste konstruktioner afhængige af eksplicitte differentielle operatørrealiseringer og Marsden-Weinstein-reduktioner. I dette papir udvikler vi en algebraisk tilgang baseret på subalgebraerne i den 2D konforme algebra c(2). Dette giver os mulighed for at klassificere centralisatorerne af den konformale algebras omsluttende algebra og konstruere de tilsvarende Hamiltonianere med integraler i algebraisk form. Det har vist sig, at de symmetrialgebraer, der ligger til grund for disse algebraiske Hamiltonianere, er seksdimensionelle kvadratiske algebraer. Berezin-parenteserne og kommuteringsrelationerne for de kvadratiske algebraiske strukturer er lukket uden at stole på eksplicitte erkendelser eller repræsentationer. Vi giver også Casimir-invarianter af symmetrialgebraerne. Vores tilgang giver algebraiske perspektiver for det nylige arbejde af Fordy og Huang om konstruktionen af ​​superintegrerbare systemer i Darboux-rummene.

Superintegrerbare systemer er blevet studeret fra forskellige perspektiver gennem årene, omfattende tilgange fra klassisk og kvantemekanik, repræsentationsteori og matematisk fysik [1-6]. Det har vist sig, at symmetrialgebra-tilgange kan bruges til at analysere fysiske systemer mere effektivt end andre tilgange [7-11]. Det blev vist, hvordan Lie-algebraer, deres realiseringer og reduktioner tillader en at opnå superintegrerbare Hamiltonianere i sammenhæng med klassisk mekanik [12-14]. For eksempel er der i [15-18] opnået forskellige superintegrerbare systemer på sfærer og pseudo-sfærer. Imidlertid er de fleste af de tidligere undersøgelser afhængige af brugen af ​​eksplicitte differentielle operatørrealisationer, Marsden-Weinstein-reduktionerne og forbindelser med specielle funktioner [19-21].

Først for ganske nylig blev det fundet, at en fuldstændig algebraisk tilgang til superintegrerbare systemer kan etableres ved at indse, at systemernes integraler er så tæt på polynomiale algebraer i de omsluttende algebraer af visse Lie-algebraer. Fremgangsmåden blev implementeret med succes for su(3) [22] og gl(3) [23] ved at anvende et skema baseret på kommutanter og algebraiseringer. Det udvides også til kommutanter vedrørende Cartan-subalgebraerne af sl(n) [24] og visse ikke-semisimple algebraer [25]. I dette papir generaliserer vi proceduren yderligere og præsenterer konstruktionen af ​​kommutanter vedrørende subalgebraer, de tilsvarende algebraiske superintegrerbare Hamiltonianere og deres bevægelsesintegraler. Dette giver os mulighed for at foreslå et nyt skema til klassificering af superintegrerbare systemer ved at klassificere subalgebraer og relaterede kommutanter af en given Lie-algebra.

For nylig blev det indset, at konforme algebraer spiller en vigtig rolle i klassificering af superintegrerbare systemer i 2-dimensionelle rum [2, 26-28]. I arbejdet af Fordy og Huang [29-31], gennem brug af specifikke subalgebraer, deres Casimir-operatorer og differentielle realisationer, blev det vist, at superintegrerbare systemer i 2D- og 3D-konformt flade rum er relateret til superintegrerbare systemer i Darboux-rum. Især blev de konforme symmetrier af den 2D euklidiske metrik anvendt til at konstruere nye frie superintegrerbare systemer i 2D Darboux-rummene. I dette papir vil vi undersøge forskellige abelske og ikke-abiske subalgebraer af den 2D konforme algebra c(2) og foreslå et nyt skema til klassificering af integrerbare og superintegrerbare systemer gennem eksplicit konstruktion af kommutanter i forhold til subalgebraerne.