Principy matematiky

Principy matematiky

Tato práce má dva hlavní cíle. Jeden z nich, důkaz, že celá čistá matematika se zabývá výhradně pojmy definovatelnými na základě velmi malého počtu základních logických pojmů a že všechny její výroky jsou odvoditelné z velmi malého počtu základních logických principů, je uveden v částech II–VII tohoto svazku a bude stanoven přísným symbolickým uvažováním ve svazku II. Dalším předmětem této práce, která zabírá část I, je vysvětlení základních pojmů, které matematika přijímá jako nedefinovatelné.

1. Čistá matematika je třída všech výroků ve tvaru „p implikuje q“, kde p a q jsou výroky obsahující jednu nebo více proměnných, které jsou v obou propozicích stejné, a ani p ani q neobsahují žádné konstanty kromě logických konstant. A logické konstanty jsou všechny pojmy definovatelné v následujících termínech: Implikace, vztah termínu ke třídě, jejímž je členem, pojem takového onoho, pojem relace a takové další pojmy, které mohou být obsaženy v obecném pojetí výroků výše uvedené formy. Kromě toho matematika používá pojem, který není součástí tvrzení, o nichž uvažuje, totiž pojem pravdy.

2. Výše ​​uvedená definice čisté matematiky je bezpochyby poněkud neobvyklá. Jeho různé části se však zdají být schopny exaktního zdůvodnění – zdůvodnění, které bude předmětem této práce poskytnout. Ukáže se, že cokoli, co bylo v minulosti považováno za čistou matematiku, je zahrnuto do naší definice a že cokoli jiného je zahrnuto, má znaky, kterými se matematika běžně, i když nejasně odlišuje od jiných studií. Definice prohlašuje, že nejde o svévolné rozhodnutí použít běžné slovo v neobvyklém významu, ale spíše o přesnou analýzu myšlenek, které jsou více či méně nevědomě zahrnuty v běžném používání tohoto termínu. Naší metodou tedy bude analýza a náš problém lze nazvat filozofickým – v tom smyslu, že se snažíme přejít od složitého k jednoduchému, od prokazatelného k jeho neprokazatelným premisám. Ale v jednom ohledu se nemálo našich diskusí bude lišit od těch, které se obvykle nazývají filozofické. Díky práci samotných matematiků budeme schopni dospět k jistotě ohledně většiny otázek, kterými se budeme zabývat; a mezi těmi, kdo jsou schopni exaktního řešení, najdeme mnoho problémů, které byly v minulosti zapleteny do veškeré tradiční nejistoty filozofických sporů. Povaha čísla, nekonečna, prostoru, času a pohybu a samotného matematického vyvozování, to vše jsou otázky, na které bude v tomto díle dána odpověď, která se sama o sobě prokazuje s matematickou jistotou – odpověď, která však spočívá v redukování výše uvedených problémů na problémy v čisté logice, které nakonec nebudou nalezeny jako uspokojivě vyřešené v následujícím textu.