Algebraické struktury a hamiltoniany z tříd ekvivalence 2D konformních algeber

Algebraické struktury a hamiltoniany z tříd ekvivalence 2D konformních algeber

Konstrukce superintegrovatelných systémů založených na Lieových algebrách a jejich univerzálních obalových algebrách byla v posledních desetiletích široce studována. Většina konstrukcí se však spoléhá na explicitní realizace diferenciálních operátorů a Marsden-Weinsteinovy ​​redukce. V tomto článku rozvíjíme algebraický přístup založený na subalgebrách 2D konformní algebry c(2). To nám umožňuje klasifikovat centralizátory obalové algebry konformní algebry a sestrojit odpovídající hamiltoniany s integrály v algebraickém tvaru. Bylo zjištěno, že algebry symetrie, které jsou základem těchto algebraických Hamiltoniánů, jsou šestirozměrné kvadratické algebry. Berezinovy ​​závorky a komutační vztahy kvadratických algebraických struktur jsou uzavřené, aniž by se spoléhaly na explicitní realizace nebo reprezentace. Uvádíme také Casimirovy invarianty algeber symetrie. Náš přístup poskytuje algebraické perspektivy pro nedávnou práci Fordyho a Huanga o konstrukci superintegrovatelných systémů v Darbouxových prostorech.

Superintegrovatelné systémy byly v průběhu let studovány z různých perspektiv, zahrnujících přístupy z klasické a kvantové mechaniky, teorie reprezentace a matematické fyziky [1–6]. Bylo zjištěno, že přístupy algebry symetrie lze použít k analýze fyzikálních systémů efektivněji než jiné přístupy [7–11]. Bylo ukázáno, jak Lieovy algebry, jejich realizace a redukce umožňují získat superintegrovatelné hamiltoniany v kontextu klasické mechaniky [12–14]. Například v [15–18] byly získány různé superintegrovatelné systémy na koulích a pseudokoulích. Většina předchozích studií se však opírá o použití explicitních realizací diferenciálních operátorů, Marsden-Weinsteinových redukcí a spojení se speciálními funkcemi [19–21].

Teprve velmi nedávno bylo zjištěno, že zcela algebraický přístup k superintegrovatelným systémům lze ustavit tím, že si uvědomíme, že integrály systémů jsou stejně blízké polynomiálním algebrám v obalových algebrách určitých Lieových algeber. Tento přístup byl úspěšně implementován pro su(3) [22] a gl(3) [23] aplikací schématu založeného na komutantech a algebraizacích. To je také rozšířeno na komutanty pozorovat Cartan subalgebras sl(n) [24] a jisté non-semijednoduché algebry [25]. V tomto článku postup dále zobecňujeme a představujeme konstrukci komutantů týkajících se subalgeber, odpovídajících algebraických superintegrovatelných hamiltoniánů a jejich integrálů pohybu. To nám umožňuje navrhnout nové schéma pro klasifikaci superintegrovatelných systémů pomocí klasifikace subalgeber a příbuzných komutantů dané Lie algebry.

Nedávno bylo zjištěno, že konformní algebry hrají důležitou roli při klasifikaci superintegrovatelných systémů ve 2-rozměrných prostorech [2, 26–28]. V práci Fordyho a Huanga [29–31] se pomocí specifických subalgeber, jejich Casimirových operátorů a diferenciálních realizací ukázalo, že superintegrovatelné systémy ve 2D a 3D konformně plochých prostorech souvisí se superintegrabilními systémy v Darbouxových prostorech. Konkrétně byly konformní symetrie 2D euklidovské metriky použity pro konstrukci nových volných superintegrovatelných systémů ve 2D Darbouxových prostorech. V tomto článku prozkoumáme různé abelovské a neabelovské subalgebry 2D konformní algebry c(2) a navrhneme nové schéma pro klasifikaci integrovatelných a superintegrovatelných systémů pomocí explicitní konstrukce komutantů vzhledem k subalgebrám.