দ্বিমাত্রিক কনফর্মাল বীজগণিতের তুল্যতা শ্রেণি থেকে বীজগণিতীয় কাঠামো ও হ্যামিল্টোনিয়ান

দ্বিমাত্রিক কনফর্মাল বীজগণিতের তুল্যতা শ্রেণি থেকে বীজগণিতীয় কাঠামো ও হ্যামিল্টোনিয়ান

লি বীজগণিত ও তাদের সার্বজনীন আবরণী বীজগণিতের ভিত্তিতে অতিসমাকলনীয় সিস্টেম নির্মাণ গত কয়েক দশক ধরে ব্যাপকভাবে অধ্যয়িত হয়েছে। তবে বেশিরভাগ নির্মাণ সুস্পষ্ট ডিফারেনশিয়াল অপারেটর উপস্থাপন ও Marsden–Weinstein হ্রাসের ওপর নির্ভর করে। এই গবেষণাপত্রে, আমরা দ্বিমাত্রিক কনফর্মাল বীজগণিত c(2)-এর উপবীজগণিতের ভিত্তিতে একটি বীজগণিতীয় পদ্ধতি বিকশিত করি। এর মাধ্যমে আমরা কনফর্মাল বীজগণিতের আবরণী বীজগণিতের কেন্দ্রায়কগুলো শ্রেণিবদ্ধ করতে এবং সংশ্লিষ্ট হ্যামিল্টোনিয়ানগুলো বীজগণিতীয় রূপে সমাকলসহ নির্মাণ করতে পারি। দেখা গেছে যে এই বীজগণিতীয় হ্যামিল্টোনিয়ানগুলোর অন্তর্নিহিত প্রতিসাম্য বীজগণিতগুলো ছয়-মাত্রিক দ্বিঘাত বীজগণিত। দ্বিঘাত বীজগণিতীয় কাঠামোগুলোর বেরেজিন বন্ধনী ও কমিউটেশন সম্পর্ক সুস্পষ্ট উপস্থাপন বা প্রতিনিধিত্বের ওপর নির্ভর না করেই বদ্ধ থাকে। আমরা প্রতিসাম্য বীজগণিতগুলোর ক্যাসিমির অপরিবর্তনীয় রাশিও দিই। আমাদের পদ্ধতি Darboux স্থানগুলোতে অতিসমাকলনীয় সিস্টেম নির্মাণ নিয়ে Fordy ও Huang-এর সাম্প্রতিক কাজের জন্য বীজগণিতীয় দৃষ্টিভঙ্গি প্রদান করে।

বছরের পর বছর ধরে অতিসমাকলনীয় সিস্টেমগুলো বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে অধ্যয়ন করা হয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে চিরায়ত ও কোয়ান্টাম বলবিদ্যা, প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব এবং গাণিতিক পদার্থবিদ্যার পদ্ধতি [1–6]। দেখা গেছে যে প্রতিসাম্য বীজগণিত পদ্ধতি অন্য পদ্ধতিগুলোর তুলনায় ভৌত সিস্টেম বিশ্লেষণে অধিক কার্যকরভাবে ব্যবহার করা যায় [7–11]। কীভাবে লি বীজগণিত, তাদের উপস্থাপন ও হ্রাস চিরায়ত বলবিদ্যার প্রেক্ষিতে অতিসমাকলনীয় হ্যামিল্টোনিয়ান পেতে সহায়তা করে, তা দেখানো হয়েছে [12–14]। উদাহরণস্বরূপ, [15–18]-এ গোলক ও ছদ্ম-গোলকের ওপর বিভিন্ন অতিসমাকলনীয় সিস্টেম পাওয়া গেছে। তবে পূর্ববর্তী বেশিরভাগ গবেষণা সুস্পষ্ট ডিফারেনশিয়াল অপারেটর উপস্থাপন, Marsden–Weinstein হ্রাস এবং বিশেষ ফাংশনের সঙ্গে সংযোগের ওপর নির্ভর করে [19–21]।

অতি সম্প্রতি এটি আবিষ্কৃত হয়েছে যে সিস্টেমের সমাকলগুলো কিছু লি বীজগণিতের আবরণী বীজগণিতে বহুপদ বীজগণিতের নিকটবর্তী—এটি উপলব্ধি করার মাধ্যমে অতিসমাকলনীয় সিস্টেমের প্রতি একটি সম্পূর্ণ বীজগণিতীয় পদ্ধতি প্রতিষ্ঠা করা সম্ভব। এই পদ্ধতি কমিউট্যান্ট ও বীজগণিতীকরণভিত্তিক একটি পরিকল্পনা প্রয়োগ করে su(3) [22] ও gl(3) [23]-এর ক্ষেত্রে সফলভাবে বাস্তবায়িত হয়েছিল। এটি sl(n) [24]-এর Cartan উপবীজগণিত এবং কিছু অ-আধাসরল বীজগণিতের [25] কমিউট্যান্টের ক্ষেত্রেও সম্প্রসারিত হয়েছে। এই গবেষণাপত্রে, আমরা পদ্ধতিটিকে আরও সাধারণীকরণ করি এবং উপবীজগণিতের সাপেক্ষে কমিউট্যান্টের নির্মাণ, সংশ্লিষ্ট বীজগণিতীয় অতিসমাকলনীয় হ্যামিল্টোনিয়ান ও তাদের গতির সমাকলগুলো উপস্থাপন করি। এটি আমাদের একটি প্রদত্ত লি বীজগণিতের উপবীজগণিত ও সংশ্লিষ্ট কমিউট্যান্ট শ্রেণিবিন্যাসের মাধ্যমে অতিসমাকলনীয় সিস্টেম শ্রেণিবদ্ধ করার নতুন পরিকল্পনা প্রস্তাব করতে সক্ষম করে।

সম্প্রতি উপলব্ধি করা হয়েছে যে কনফর্মাল বীজগণিতগুলো দ্বিমাত্রিক স্থানে অতিসমাকলনীয় সিস্টেম শ্রেণিবিন্যাসে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে [2, 26–28]। Fordy ও Huang-এর কাজে [29–31], নির্দিষ্ট উপবীজগণিত, তাদের ক্যাসিমির অপারেটর ও ডিফারেনশিয়াল উপস্থাপনের ব্যবহারের মাধ্যমে দেখানো হয়েছে যে দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক কনফর্মালভাবে সমতল স্থানের অতিসমাকলনীয় সিস্টেমগুলো Darboux স্থানের অতিসমাকলনীয় সিস্টেমের সঙ্গে সম্পর্কিত। বিশেষত, দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় মেট্রিকের কনফর্মাল প্রতিসাম্য প্রয়োগ করে দ্বিমাত্রিক Darboux স্থানে নতুন মুক্ত অতিসমাকলনীয় সিস্টেম নির্মাণ করা হয়েছিল। এই গবেষণাপত্রে, আমরা দ্বিমাত্রিক কনফর্মাল বীজগণিত c(2)-এর বিভিন্ন আবেলীয় ও অ-আবেলীয় উপবীজগণিত পরীক্ষা করব এবং উপবীজগণিতের সাপেক্ষে কমিউট্যান্টের সুস্পষ্ট নির্মাণের মাধ্যমে সমাকলনীয় ও অতিসমাকলনীয় সিস্টেম শ্রেণিবদ্ধ করার একটি নতুন পরিকল্পনা প্রস্তাব করব।