مبادئ الرياضيات

مبادئ الرياضيات

يحتوي العمل الحالي على هدفين رئيسيين. أحد هذه الأدلة، هو أن الدليل على أن جميع الرياضيات البحتة تتعامل حصريًا مع مفاهيم يمكن تحديدها من خلال عدد صغير جدًا من المفاهيم المنطقية الأساسية، وأن جميع مقترحاتها يمكن استنتاجها من عدد صغير جدًا من المبادئ المنطقية الأساسية، تم تقديمه في الأجزاء من الثاني إلى السابع من هذا المجلد، وسيتم إثباته من خلال التفكير الرمزي الصارم في المجلد الثاني. والهدف الآخر من هذا العمل، والذي يشغل الجزء الأول، هو شرح المفاهيم الأساسية التي تقبلها الرياضيات على أنها غير قابلة للتعريف.

1. الرياضيات البحتة هي فئة جميع القضايا من الصيغة "p تتضمن q"، حيث p و q عبارة عن قضايا تحتوي على متغير واحد أو أكثر، وهي نفسها في القضيتين، ولا تحتوي أي من p أو q على أي ثوابت باستثناء الثوابت المنطقية. والثوابت المنطقية كلها مفاهيم يمكن تعريفها فيما يلي: التضمين، وعلاقة المصطلح بالفئة التي ينتمي إليها، ومفهوم ذلك، ومفهوم العلاقة، والمفاهيم الإضافية التي قد تكون متضمنة في المفهوم العام للقضايا في النموذج أعلاه. بالإضافة إلى ذلك، تستخدم الرياضيات مفهومًا ليس جزءًا من القضايا التي تدرسها، وهو مفهوم الحقيقة.

2. لا شك أن التعريف المذكور أعلاه للرياضيات البحتة غير عادي إلى حد ما. ومع ذلك، يبدو أن أجزائه المختلفة قادرة على التبرير الدقيق، وهو التبرير الذي سيكون موضوع العمل الحالي تقديمه. سيتبين أن كل ما تم اعتباره في الماضي رياضيات بحتة، فهو مدرج في تعريفنا، وأن كل ما تم تضمينه يمتلك تلك العلامات التي يتم من خلالها تمييز الرياضيات بشكل عام عن الدراسات الأخرى، على الرغم من أنها تتميز بشكل غامض. يزعم التعريف أنه ليس قرارًا تعسفيًا لاستخدام كلمة شائعة في دلالة غير شائعة، ولكنه بالأحرى تحليل دقيق للأفكار التي يتم تضمينها ضمنيًا، بشكل أو بآخر، في الاستخدام العادي للمصطلح. ولذلك فإن طريقتنا ستكون تحليلية، ويمكن أن تسمى مشكلتنا فلسفية، بمعنى أننا نسعى للانتقال من المعقد إلى البسيط، ومن المسلمات التي يمكن إثباتها إلى مقدماتها غير القابلة للإثبات. ولكن من ناحية واحدة، فإن عددًا ليس قليلًا من مناقشاتنا سيختلف عن تلك التي تسمى عادةً فلسفية. سنكون قادرين، بفضل جهود علماء الرياضيات أنفسهم، على الوصول إلى اليقين فيما يتعلق بمعظم المسائل التي سنهتم بها؛ ومن بين تلك القادرة على إيجاد حل دقيق، سنجد العديد من المشكلات التي كانت في الماضي متضمنة في كل حالة عدم اليقين التقليدية للصراع الفلسفي. إن طبيعة العدد، واللانهاية، والمكان، والزمان، والحركة، والاستدلال الرياضي نفسه، كلها أسئلة سيتم تقديم إجابة لها، في هذا العمل، يمكن إثباتها بيقين رياضي - إجابة تتكون، مع ذلك، من اختزال المشكلات المذكورة أعلاه في مشاكل في المنطق البحت، والتي لن يتم العثور على حل مرض لها فيما يلي.