البنى الجبرية والهاملتونيات من أصناف التكافؤ للجبرات التوافقية ثنائية الأبعاد

البنى الجبرية والهاملتونيات من أصناف التكافؤ للجبرات التوافقية ثنائية الأبعاد

لقد دُرس بناء الأنظمة فائقة التكامل القائمة على جبرات لي وجبراتها المغلِّفة الشاملة على نطاق واسع خلال العقود الماضية. غير أن معظم البناءات تعتمد على تحقيقات صريحة بالمعاملات التفاضلية وعلى اختزالات Marsden–Weinstein. في هذه الورقة، نطوّر مقاربة جبرية قائمة على الجبرات الجزئية للجبر التوافقي ثنائي الأبعاد c(2). ويتيح لنا ذلك تصنيف ممركِزات الجبر المغلِّف للجبر التوافقي وبناء الهاملتونيات المناظرة مع تكاملاتها بصيغة جبرية. وقد تبيّن أن جبرات التماثل الكامنة وراء هذه الهاملتونيات الجبرية هي جبرات تربيعية سداسية الأبعاد. إن أقواس بيريزين وعلاقات التبادل للبنى الجبرية التربيعية مغلقة دون الاعتماد على تحقيقات أو تمثيلات صريحة. كما نقدّم ثوابت كازيمير لجبرات التماثل. وتوفر مقاربتنا منظورات جبرية للعمل الأخير لـ Fordy وHuang حول بناء الأنظمة فائقة التكامل في فضاءات Darboux.

لقد دُرست الأنظمة فائقة التكامل على مر السنين من منظورات مختلفة، شملت مقاربات من الميكانيكا الكلاسيكية والكمية، ونظرية التمثيل، والفيزياء الرياضية [1–6]. وقد وُجد أن مقاربات جبر التماثل يمكن أن تُستخدم لتحليل الأنظمة الفيزيائية بفاعلية أكبر من سائر المقاربات [7–11]. وقد بُيِّن كيف أن جبرات لي وتحقيقاتها واختزالاتها تتيح الحصول على هاملتونيات فائقة التكامل في سياق الميكانيكا الكلاسيكية [12–14]. فعلى سبيل المثال، حُصل في [15–18] على أنظمة فائقة التكامل متنوعة على الكرات والكرات الزائفة. غير أن معظم الدراسات السابقة يعتمد على استخدام تحقيقات صريحة بالمعاملات التفاضلية، واختزالات Marsden–Weinstein، وصلات مع الدوال الخاصة [19–21].

وفي الآونة الأخيرة فقط وُجد أنه يمكن إرساء مقاربة جبرية محضة للأنظمة فائقة التكامل بإدراك أن تكاملات الأنظمة قريبة من جبرات كثيرات الحدود في الجبرات المغلِّفة لبعض جبرات لي. وقد نُفِّذت هذه المقاربة بنجاح في su(3) [22] وgl(3) [23] بتطبيق مخطط قائم على المبدِّلات والتجبيرات. كما امتدت إلى المبدِّلات المتعلقة بجبرات Cartan الجزئية لـ sl(n) [24] وبعض الجبرات غير شبه البسيطة [25]. في هذه الورقة، نعمّم الإجراء أكثر ونقدّم بناء المبدِّلات المتعلقة بالجبرات الجزئية، والهاملتونيات الجبرية فائقة التكامل المناظرة، وتكاملات حركتها. ويتيح لنا ذلك اقتراح مخطط جديد لتصنيف الأنظمة فائقة التكامل عبر تصنيف الجبرات الجزئية والمبدِّلات المرتبطة بها لجبر لي معطى.

ومؤخراً أُدرك أن الجبرات التوافقية تؤدي دوراً مهماً في تصنيف الأنظمة فائقة التكامل في الفضاءات ثنائية الأبعاد [2, 26–28]. ففي عمل Fordy وHuang [29–31]، تبين من خلال استخدام جبرات جزئية محددة ومؤثرات كازيمير الخاصة بها وتحقيقاتها التفاضلية أن الأنظمة فائقة التكامل في الفضاءات المسطحة توافقياً ثنائية وثلاثية الأبعاد ترتبط بالأنظمة فائقة التكامل في فضاءات Darboux. وعلى وجه الخصوص، طُبِّقت التماثلات التوافقية للمتر الإقليدي ثنائي الأبعاد لبناء أنظمة فائقة التكامل حرة جديدة في فضاءات Darboux ثنائية الأبعاد. في هذه الورقة، سندرس مختلف الجبرات الجزئية الأبيلية وغير الأبيلية للجبر التوافقي ثنائي الأبعاد c(2) ونقترح مخططاً جديداً لتصنيف الأنظمة القابلة للتكامل وفائقة التكامل من خلال البناء الصريح للمبدِّلات بالنسبة إلى الجبرات الجزئية.