Các nguyên tắc của toán học

Các nguyên tắc của toán học

Công việc hiện tại có hai đối tượng chính. Một trong số đó, bằng chứng cho thấy toàn bộ toán học thuần túy chỉ giải quyết các khái niệm có thể xác định được theo một số lượng rất nhỏ các khái niệm logic cơ bản, và rằng tất cả các mệnh đề của nó đều có thể được suy diễn từ một số lượng rất nhỏ các nguyên tắc logic cơ bản, được thực hiện trong Phần II–VII của tập này, và sẽ được thiết lập bằng lý luận biểu tượng chặt chẽ trong Tập II. Mục đích khác của công việc này, nằm trong Phần I, là giải thích các khái niệm cơ bản mà toán học chấp nhận là không thể xác định được.

1. Toán học thuần túy là lớp của tất cả các mệnh đề có dạng “p ngụ ý q”, trong đó p và q là các mệnh đề chứa một hoặc nhiều biến, giống nhau ở hai mệnh đề và cả p và q đều không chứa bất kỳ hằng số nào ngoại trừ hằng số logic. Và các hằng số logic là tất cả các khái niệm có thể được định nghĩa theo những thuật ngữ sau: Hàm ý, mối quan hệ của một thuật ngữ với một lớp mà nó là thành viên, khái niệm về cái đó, khái niệm về quan hệ, và các khái niệm xa hơn có thể liên quan đến khái niệm chung về các mệnh đề ở dạng trên. Ngoài ra, toán học còn sử dụng một khái niệm không phải là thành phần của các mệnh đề mà nó xem xét, đó là khái niệm về chân lý.

2. Định nghĩa trên về toán học thuần túy chắc chắn có phần khác thường. Tuy nhiên, các phần khác nhau của nó dường như có khả năng biện minh chính xác - một sự biện minh mà nó sẽ là đối tượng của công việc hiện tại để cung cấp. Nó sẽ chỉ ra rằng bất cứ điều gì, trong quá khứ, được coi là toán học thuần túy, đều được đưa vào định nghĩa của chúng tôi, và rằng bất cứ điều gì khác được bao gồm đều sở hữu những dấu hiệu mà toán học thường được phân biệt một cách mơ hồ với các nghiên cứu khác. Định nghĩa này tuyên bố không phải là một quyết định tùy tiện sử dụng một từ phổ biến với một ý nghĩa thông thường, mà đúng hơn là một sự phân tích chính xác về các ý tưởng mà ít nhiều được ngụ ý một cách vô thức trong việc sử dụng thuật ngữ thông thường. Do đó, phương pháp của chúng tôi sẽ là phương pháp phân tích, và vấn đề của chúng tôi có thể được gọi là triết học - nghĩa là, theo nghĩa, chúng tôi tìm cách chuyển từ cái phức tạp sang cái đơn giản, từ cái có thể chứng minh được đến những tiền đề không thể chứng minh được của nó. Nhưng ở một khía cạnh nào đó, không ít cuộc thảo luận của chúng ta sẽ khác với những cuộc thảo luận thường được gọi là triết học. Nhờ vào công sức của chính các nhà toán học, chúng ta sẽ có thể đi đến sự chắc chắn đối với hầu hết các câu hỏi mà chúng ta sẽ quan tâm; và trong số những người có khả năng tìm ra giải pháp chính xác, chúng ta sẽ tìm thấy nhiều vấn đề mà trong quá khứ đã liên quan đến tất cả sự không chắc chắn truyền thống của xung đột triết học. Bản chất của số, của vô cực, của không gian, thời gian và chuyển động, và của chính suy luận toán học, đều là những câu hỏi mà trong tác phẩm này, một câu trả lời tự cho là có thể chứng minh được với sự chắc chắn về mặt toán học sẽ được đưa ra - một câu trả lời, tuy nhiên, bao gồm việc quy giản các vấn đề trên thành các vấn đề logic thuần túy, mà cuối cùng sẽ không được giải quyết thỏa đáng trong phần tiếp theo.