Cấu trúc đại số và Hamilton từ các lớp tương đương của đại số bảo quy 2D

Cấu trúc đại số và Hamilton từ các lớp tương đương của đại số bảo quy 2D

Việc xây dựng các hệ siêu tích hợp dựa trên đại số Lie và đại số bao phổ của chúng đã được nghiên cứu rộng rãi trong nhiều thập kỷ qua. Tuy nhiên, hầu hết các công trình đều dựa vào việc thực hiện toán tử vi phân rõ ràng và rút gọn Marsden–Weinstein. Trong bài báo này, chúng tôi phát triển một phương pháp đại số dựa trên các đại số con của đại số bảo giác 2D c(2). Điều này cho phép chúng ta phân loại các tập trung của đại số bao của đại số bảo giác và xây dựng các Hamiltonian tương ứng với các tích phân ở dạng đại số. Người ta thấy rằng các đại số đối xứng làm cơ sở cho các đại số Hamiltonian này là các đại số bậc hai sáu chiều. Dấu ngoặc Berezin và quan hệ giao hoán của các cấu trúc đại số bậc hai được đóng mà không dựa vào cách biểu diễn hoặc biểu diễn rõ ràng. Chúng tôi cũng đưa ra các bất biến Casimir của đại số đối xứng. Cách tiếp cận của chúng tôi cung cấp các quan điểm đại số cho công trình gần đây của Fordy và Huang về việc xây dựng các hệ thống siêu tích hợp trong không gian Darboux.

Các hệ siêu tích hợp đã được nghiên cứu từ nhiều góc độ khác nhau trong nhiều năm, bao gồm các cách tiếp cận từ cơ học cổ điển và cơ học lượng tử, lý thuyết biểu diễn và vật lý toán học [1–6]. Người ta nhận thấy rằng các phương pháp đại số đối xứng có thể được sử dụng để phân tích các hệ vật lý hiệu quả hơn các phương pháp khác [7–11]. Nó đã chỉ ra cách đại số Lie, cách biểu diễn và rút gọn của chúng cho phép người ta thu được các Hamiltonian siêu tích phân trong bối cảnh cơ học cổ điển [12–14]. Ví dụ, trong [15–18] đã thu được nhiều hệ thống siêu tích hợp khác nhau trên hình cầu và hình cầu giả. Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu trước đây đều dựa vào việc sử dụng các cách thực hiện toán tử vi phân rõ ràng, phép rút gọn Marsden–Weinstein và các kết nối với các hàm đặc biệt [19–21].

Chỉ gần đây người ta mới phát hiện ra rằng có thể thiết lập một cách tiếp cận hoàn toàn bằng đại số đối với các hệ siêu tích hợp bằng cách nhận ra rằng tích phân của các hệ gần giống với đại số đa thức trong các đại số bao của một số đại số Lie nhất định. Cách tiếp cận đã được thực hiện thành công cho su(3) [22] và gl(3) [23] bằng cách áp dụng sơ đồ dựa trên giao hoán và đại số hóa. Nó cũng được mở rộng cho các giao hoán liên quan đến đại số con Cartan của sl(n) [24] và một số đại số không nửa đơn nhất định [25]. Trong bài viết này, chúng tôi khái quát hóa quy trình hơn nữa và trình bày cách xây dựng các giao hoán liên quan đến đại số con, các Hamiltonian siêu tích phân đại số tương ứng và tích phân chuyển động của chúng. Điều này cho phép chúng ta đề xuất một sơ đồ mới để phân loại các hệ thống siêu tích hợp bằng cách phân loại các đại số con và các giao hoán liên quan của một đại số Lie cho trước.

Gần đây người ta nhận ra rằng đại số bảo giác đóng một vai trò quan trọng trong việc phân loại các hệ siêu tích hợp trong không gian 2 chiều [2, 26–28]. Trong công trình của Fordy và Huang [29–31], thông qua việc sử dụng các đại số con cụ thể, toán tử Casimir và cách thực hiện vi phân, người ta đã chứng minh rằng các hệ thống siêu tích hợp trong không gian phẳng phù hợp 2D và 3D có liên quan đến các hệ thống siêu tích hợp trong không gian Darboux. Đặc biệt, các đối xứng bảo giác của phép đo Euclide 2D đã được áp dụng để xây dựng các hệ thống siêu tích hợp tự do mới trong không gian Darboux 2D. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ xem xét các đại số con Abelian và không phải Abelian khác nhau của đại số bảo giác 2D c(2) và đề xuất một sơ đồ mới để phân loại các hệ thống tích hợp và siêu tích hợp thông qua việc xây dựng rõ ràng các giao hoán so với các đại số con.