หลักคณิตศาสตร์

หลักคณิตศาสตร์

งานปัจจุบันมีสองวัตถุหลัก หนึ่งในนั้นคือการพิสูจน์ว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ทั้งหมดเกี่ยวข้องเฉพาะกับแนวคิดที่สามารถกำหนดได้ในแง่ของแนวคิดเชิงตรรกะพื้นฐานจำนวนน้อยมาก และข้อเสนอทั้งหมดสามารถอนุมานได้จากหลักการเชิงตรรกะพื้นฐานจำนวนน้อยมาก ได้ถูกดำเนินการในส่วนที่ II-VII ของเล่มนี้ และจะถูกสร้างขึ้นโดยการให้เหตุผลเชิงสัญลักษณ์ที่เข้มงวดในเล่ม II วัตถุประสงค์อีกประการหนึ่งของงานนี้ ซึ่งอยู่ในส่วนที่ 1 คือการอธิบายแนวคิดพื้นฐานซึ่งคณิตศาสตร์ยอมรับว่าไม่มีกำหนด

1. คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เป็นคลาสของประพจน์ทั้งหมดในรูปแบบ “p หมายถึง q” โดยที่ p และ q เป็นประพจน์ที่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ซึ่งเหมือนกันในทั้งสองประพจน์ และทั้ง p และ q ไม่มีค่าคงที่ใดๆ ยกเว้นค่าคงที่เชิงตรรกะ และค่าคงที่เชิงตรรกะเป็นแนวคิดทั้งหมดที่สามารถนิยามได้ในแง่ของสิ่งต่อไปนี้: ความนัย ความสัมพันธ์ของคำศัพท์กับคลาสที่คำนั้นเป็นสมาชิกอยู่ แนวคิดของสิ่งนั้น แนวคิดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ และแนวคิดเพิ่มเติมที่อาจเกี่ยวข้องกับแนวคิดทั่วไปของประพจน์ในรูปแบบข้างต้น นอกจากนี้ คณิตศาสตร์ยังใช้แนวคิดซึ่งไม่ใช่องค์ประกอบของประพจน์ที่ทางคณิตศาสตร์พิจารณา นั่นก็คือ แนวคิดเกี่ยวกับความจริง

2. คำจำกัดความข้างต้นของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์นั้นค่อนข้างผิดปกติอย่างไม่ต้องสงสัย อย่างไรก็ตาม ส่วนต่างๆ ของมัน ดูเหมือนจะสามารถให้เหตุผลที่ถูกต้องได้ ซึ่งเป็นการให้เหตุผลซึ่งจะเป็นเป้าหมายของงานในปัจจุบันที่จะให้ได้ จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งใดก็ตามที่ในอดีตถือเป็นคณิตศาสตร์ล้วนๆ จะรวมอยู่ในคำจำกัดความของเรา และสิ่งอื่นใดที่รวมอยู่นั้นย่อมมีเครื่องหมายเหล่านั้น ซึ่งโดยทั่วไปแล้วคณิตศาสตร์จะมีความแตกต่างอย่างคลุมเครือจากการศึกษาอื่นๆ ก็ตาม คำจำกัดความนี้อ้างว่าไม่ใช่การตัดสินใจโดยพลการที่จะใช้คำทั่วไปในความหมายที่ไม่ธรรมดา แต่เป็นการวิเคราะห์ที่แม่นยำของแนวคิดซึ่งนัยโดยนัยในการใช้งานคำนั้น ไม่มากก็น้อยโดยไม่รู้ตัว ดังนั้น วิธีการของเราจึงเป็นหนึ่งในการวิเคราะห์ และปัญหาของเราอาจถูกเรียกว่าเป็นปรัชญา—ในความหมาย กล่าวคือ เราพยายามที่จะผ่านจากสิ่งที่ซับซ้อนไปสู่สิ่งที่เรียบง่าย จากสิ่งที่พิสูจน์ได้ไปสู่หลักฐานที่ไม่อาจอธิบายได้ แต่ในแง่หนึ่ง การอภิปรายของเราไม่กี่รายการจะแตกต่างจากที่มักเรียกว่าปรัชญา ต้องขอบคุณการทำงานของนักคณิตศาสตร์เอง เราจะสามารถบรรลุความแน่นอนเกี่ยวกับคำถามส่วนใหญ่ที่เราจะต้องกังวลด้วย และในบรรดาผู้ที่มีความสามารถในการแก้ปัญหาที่แน่นอน เราจะพบปัญหามากมายซึ่งในอดีตเกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอนดั้งเดิมของความขัดแย้งทางปรัชญา ธรรมชาติของจำนวน ความไม่มีที่สิ้นสุด ของอวกาศ เวลาและการเคลื่อนที่ และการอนุมานทางคณิตศาสตร์นั้น ล้วนเป็นคำถามที่ในงานปัจจุบันนี้ คำตอบที่พิสูจน์ตัวเองได้ด้วยความแน่นอนทางคณิตศาสตร์จะได้รับมา ซึ่งเป็นคำตอบที่ประกอบด้วยการลดปัญหาข้างต้นให้เหลือเพียงปัญหาในตรรกะล้วนๆ ซึ่งสุดท้ายจะไม่พบคำตอบที่น่าพอใจในสิ่งที่ตามมา