โครงสร้างพีชคณิตและแฮมิลตันจากคลาสเทียบเท่าของพีชคณิตแบบ Conformal 2D

โครงสร้างพีชคณิตและแฮมิลตันจากคลาสเทียบเท่าของพีชคณิตแบบ Conformal 2D

การสร้างระบบที่บูรณาการได้โดยใช้พีชคณิตโกหกและพีชคณิตแบบห่อหุ้มสากลได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา อย่างไรก็ตาม การก่อสร้างส่วนใหญ่อาศัยการรับรู้ตัวดำเนินการส่วนต่างที่ชัดเจนและการลด Marsden–Weinstein ในบทความนี้ เราได้พัฒนาแนวทางพีชคณิตโดยใช้พีชคณิตย่อยของพีชคณิตแบบ 2 มิติ c(2) สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถจัดกลุ่มศูนย์กลางของพีชคณิตแบบห่อหุ้มของพีชคณิตแบบโครงสร้าง และสร้างแฮมิลตันเนียนที่สอดคล้องกันด้วยอินทิกรัลในรูปแบบพีชคณิต พบว่าพีชคณิตสมมาตรที่อยู่ภายใต้พีชคณิตแฮมิลตันเนียนเหล่านี้เป็นพีชคณิตกำลังสองหกมิติ วงเล็บเบเรซินและความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนของโครงสร้างพีชคณิตกำลังสองถูกปิดโดยไม่ต้องอาศัยการตระหนักรู้หรือการเป็นตัวแทนที่ชัดเจน เรายังให้ค่าคงที่ของคาซิเมียร์ของพีชคณิตสมมาตรด้วย แนวทางของเราให้มุมมองพีชคณิตสำหรับงานล่าสุดโดย Fordy และ Huang เกี่ยวกับการสร้างระบบที่บูรณาการได้ในพื้นที่ Darboux

ระบบที่ผสานรวมได้ได้รับการศึกษาจากมุมมองที่แตกต่างกันตลอดหลายปีที่ผ่านมา โดยครอบคลุมแนวทางจากกลศาสตร์คลาสสิกและควอนตัม ทฤษฎีการเป็นตัวแทน และฟิสิกส์คณิตศาสตร์ [1–6] พบว่าวิธีพีชคณิตสมมาตรสามารถนำมาใช้ในการวิเคราะห์ระบบทางกายภาพได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าวิธีอื่นๆ [7–11] มันแสดงให้เห็นว่าพีชคณิตโกหก การตระหนักรู้ และการลดลงทำให้คน ๆ หนึ่งได้รับแฮมิลตันเนียนที่บูรณาการได้ดีกว่าในบริบทของกลศาสตร์คลาสสิก [12–14] ตัวอย่างเช่น ใน [15–18] ระบบที่ผสานรวมได้หลากหลายบนทรงกลมและทรงกลมเทียมได้รับมา อย่างไรก็ตาม การศึกษาก่อนหน้านี้ส่วนใหญ่อาศัยการใช้ตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลที่ชัดเจน การลดมาร์สเดน–ไวน์สไตน์ และการเชื่อมต่อกับฟังก์ชันพิเศษ [19–21]

เพียงไม่นานมานี้พบว่าแนวทางพีชคณิตทั้งหมดสำหรับระบบ superintegrable สามารถสร้างขึ้นได้โดยการตระหนักว่าอินทิกรัลของระบบมีความใกล้เคียงกับพีชคณิตพหุนามในพีชคณิตที่ห่อหุ้มของพีชคณิตโกหกบางตัว แนวทางนี้ถูกนำไปใช้อย่างประสบความสำเร็จสำหรับ su(3) [22] และ gl(3) [23] โดยการประยุกต์ใช้โครงร่างที่ยึดตามสับเปลี่ยนและพีชคณิต มันยังขยายไปถึงสับเปลี่ยนเกี่ยวกับพีชคณิตย่อย Cartan ของ sl(n) [24] และพีชคณิตที่ไม่ใช่กึ่งธรรมดาบางตัว [25] ในบทความนี้ เราจะสรุปขั้นตอนเพิ่มเติมและนำเสนอการสร้างสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับ subalgebras, Hamiltonian เชิงพีชคณิตที่บูรณาการแทนได้ที่สอดคล้องกัน และอินทิกรัลของการเคลื่อนที่ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถเสนอรูปแบบใหม่สำหรับการจำแนกระบบ superintegrable โดยการจำแนกพีชคณิตย่อยและสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องของพีชคณิตโกหกที่กำหนด

เมื่อเร็วๆ นี้ เป็นที่ทราบกันดีว่าพีชคณิตแบบมีโครงสร้างมีบทบาทสำคัญในการจำแนกระบบที่ผสานรวมได้มากในปริภูมิ 2 มิติ [2, 26–28] ในงานของ Fordy และ Huang [29–31] โดยการใช้พีชคณิตย่อยเฉพาะ ตัวดำเนินการคาซิเมียร์ และการรับรู้เชิงอนุพันธ์ แสดงให้เห็นว่าระบบที่ผสานรวมได้อย่างลงตัวในปริภูมิแบนแบบ 2D และ 3D มีความสัมพันธ์กับระบบ superintegrable ในปริภูมิ Darboux โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความสมมาตรเชิงโครงสร้างของเมตริกแบบยุคลิด 2 มิติถูกนำมาใช้เพื่อสร้างระบบที่ผสานรวมได้อิสระแบบใหม่ในปริภูมิ 2 มิติดาร์บูซ์ ในบทความนี้ เราจะตรวจสอบพีชคณิตย่อยแบบอาบีเลียนและที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนของพีชคณิตแบบ 2 มิติ c(2) และเสนอรูปแบบใหม่สำหรับการจำแนกประเภทระบบที่บูรณาการได้และระบบที่บูรณาการได้ผ่านการสร้างสับเปลี่ยนที่ชัดเจนซึ่งสัมพันธ์กับพีชคณิตย่อย